Σχέση μαθηματικών και μουσικής διαμέσου της λογικής

«Κόσμον τόνδε τον αυτόν απάντων, ούτε τις θεών ούτε ανθρώπων εποίησεν, αλλ’ ην αεί και εστίν και έσται πυρ, αείζωον, απτόμενον μέτρα και αποσβεννύμενον μέτρα» (απόσπασμα Diels 30). Με αυτόν τον υπερβατικόν φιλοσοφικόν και κοσμολογικόν στοχασμόν ο Ηράκλειτος και συγκεκριμένα με το ότι «είναι φωτιά αιώνια που ανάβει και σβήνει με μέτρο» μπορούμε να πούμε ότι είναι ο πρώτος που συλλαμβάνει και διατυπώνει την έννοια της μεγάλης έκρηξης (big bang).

Ξεκινώντας από την Μεγάλη Έκρηξη την οποία και λαμβάνουμε σαν αφετηρία μιας αρχής της αιτιότητας, με αποτέλεσμα την γένεση του κοσμικού γίγνεσθαι. Έχομε ταυτόχρονα την δημιουργία 1) τον χωρόχρονο, όπου από μηδενική στιγμή διαστέλλεται ο χώρος με την ταχύτητα του φωτός 2) την λογική του κοσμικού ενστίκτου και η οποία είναι η αυτοοργάνωση, αυτονόμηση και αυτοπραγμάτωση της κβαντικής υλοενέργειας και 3) τον ήχο και ρυθμό. Γιατί από τη στιγμή την οποία όλο το κοσμικό γίγνεσθαι υπόκειται σε ταλάντωση, δονείται και πάλλεται και κατά συνέπεια παράγει ήχο και ρυθμό.

Εν αρχή ην ο λόγος και μια έννοια της πολυσημίας του λόγου είναι κοσμολογικός. (Μεγάλη προσφορά για την πολυσημία του λόγου βλέπομε στον ογκώδη τόμο του καθηγητή Κώστα Μπέη «Η Θεωρία για τον Λόγο». Ο καθηγητής Κώστας Μπέης στα περιεχόμενα του βιβλίου του «Αντί Προλόγου» αναφέρει μία προσωπική εξήγηση και εκτίμηση περί του λόγου και τον οποίο χωρίζει σε τέσσερα κεφάλαια: 1) ένα σύντομο κεφάλαιο η φιλολογική πολυσημία του λόγου όπου σχολιάζει τον λόγο ετυμολογικά 2) η απρόσωπη φιλοσοφική και θεολογική διάσταση του λόγου, με αναφορά στον Λόγο από τους Θαλή, Πυθαγόρα, Ξενοφάνη, Ηράκλειτο μέχρι τον Πλωτίνο 3) Προσωποποιημένος Λόγος ως εξάγγελος του Θεού ξεκινώντας από τον Ιουδαϊκό μονοθεϊσμό και 4) ο Ιησούς ως αποκαλυπτικός Λόγος του Θεού με αναφορά στους Αποστόλους και στους Πατέρες της Εκκλησίας. Ο καθηγητής Κώστας Μπέης με το σύγγραμά του αυτό μας δίνει μια μεγάλη πληροφόρηση περί της ερμηνείας του Λόγου αλλά παράλληλα και την προσωπική του θέση. Με αυτόν τον τρόπο δίνει στον μελετητή την δυνατότητα να πάρει την δική του θέση, υιοθετώντας απόψεις των κειμένων ή ακόμα να δώσει τις δικές του προεκτάσεις.

Ξεκινώντας και παίρνοντας θέση περί του λόγου, κοσμολογικά, θα κάνω ένα σύντομο πέρασμα για να καταλήξω στην έννοια του Μουσικού Λόγου. Σύμφωνα με τη θεωρία της «Ασθενούς Ανθρωπικής Αρχής» σε μία άκρη του σύμπαντος κόσμου ο πλανήτης Γη είχε τις συνθήκες τέτοιες όπου και δημιουργήθηκαν οι προϋποθέσεις για την ύπαρξη έμβιας ζωής. Οι συνθήκες και οι προϋποθέσεις αυτές δεν είναι άλλες από την σύνθεση των αναλογιών και συμμετριών για την δομή και ύπαρξη όλων των γεννητών όντων.

Με βάση τα τέσσερα στοιχεία Γη-Νερό-Αέρας-Φωτιά τα οποία ο Εμπεδοκλής ονόμαζε ριζώματα, μπορούμε να πούμε ότι έχομε την έννοια της τετρακτύος για την οποία εκτενέστερα θα γίνει αναφορά στους Πυθαγόρειους και στην Μουσική.

Σαν βάση του λόγου, πάντα με την έννοια την κοσμολογική έχομε τα μαθηματικά μια και όλες οι αναλογίες και συμμετρίες καθορίζονται και ταυτίζονται με τους αριθμούς τόσο στα επιμέρους όντα, όσο και στο σύνολο των όντων που συνθέτουν τον λόγο.

Η Μουσική είναι η αισθητική έκφραση των μαθηματικών. Τα μαθηματικά είναι λόγος άρα και η μουσική είναι λόγος. Με αυτήν την διαλεκτική πορεία της σκέψης, ερχόμαστε να ταυτίσομε την «σχέση των μαθηματικών με την μουσική δια μέσου της λογικής» που είναι και το θέμα αυτής της εισήγησης.

Η λογική που διέπει τα έμβια όντα και αυτή σαν αφετηρία έχει τη λογική του ενστίκτου, που προικοδότησε η φύση τον αρχαίο άνθρωπο (Homo Habilis) για να φθάσει στον σκεπτόμενο (Homo Sapiens) δια μέσου των βιωμάτων και εμπειριών. Το ένστικτο είναι το «εν δυνάμει», η έμφυτη, πηγαία και αναλλοίωτη συμπεριφορά, δομημένη σε όλα τα έμβια όντα. Κατά τον ΜΠΕΡΞΟΝ πηγή της αυθεντικής γνώσης είναι το ένστικτο και το οποίο ως βάση στα έμβια όντα στηρίζεται σε δύο πυλώνες: την αυτοσυντήρηση και τη διαιώνιση του είδους.

Έτσι μπαίνουμε στην επιμέρους Λογική των όντων τόσο στη χλωρίδα, που κυριαρχεί μόνο η λογική του ενστίκτου και για την οποία συμπεριφορά των φυτών έχουν γραφεί από τους φυσιοδίφες πάρα πολλά παράξενα (βλέπε τα σαρκοφάγα φυτά) καθώς και η «Νοημοσύνη των Φυτών» του Μωρίς Μαίτερλινκ και πολύ περισσότερο στην πανίδα όπου πρωταγωνιστεί η ανθρώπινη συνείδηση χτίζοντας τον πολιτισμό μέσα από τις τέχνες και τα γράμματα.

Προσπαθώντας ο πρωτόγονος άνθρωπος να επιβιώσει με βάση τη λογική του ενστίκτου, την οποία πήρε σαν προίκα από τη φύση, αρχίζει να δέχεται εμπειρίες ενστικτωδώς και ενσυνειδήτως, οι οποίες σιγά-σιγά στοιβάζονται μέσα στα βάθη της ψυχής του, που δεν είναι άλλο από το ασυνείδητο το οποίο συνεχώς εμπλουτιζόμενο γίνεται ταυτόχρονα και φορέας της βιολογικής μνήμης (D.N.A.).

Έτσι δια μέσου των αιώνων και χιλιετηρίδων, φτάνουμε στα αποτελέσματα του σύγχρονου πολιτισμού μέσω τριών βασικών παραγόντων α) την βιολογική μνήμη β) την βιωματική και πληροφορική εμπειρία και γ) τη νόηση όπου ο Kant στο έργο του «Η Κριτική του Καθαρού Λόγου» μας λέει ότι τις μορφές και τις ιδιότητες των αντικειμένων συλλαμβάνει η υπερβατική λογική και συμπληρώνει η τυπική.

Ξεκινώντας ο άνθρωπος με βάση την εμπειρία η οποία και γίνεται αλτήρας για να εκτοξεύσει την φαντασία και ενόρασή του, εναλλασσόμενη με αυτήν (εμπειρία + ενόραση + φαντασία) μας δίνει την γνώση δια μέσου της λογικής, για να φθάσει ο άνθρωπος στα αποτελέσματα του σύγχρονου πολιτισμού.

Η εμπειρία, η οποία είναι η βάση για τη γνώση, στηρίζεται και αυτή στα αισθητήρια όργανα, όμως αυτά μας δίνουν ένα μέρος της πραγματικότητας του παρατηρούμενου αντικειμένου.

Η λογική ολοκληρώνει την παρατήρησή της επί του αντικειμένου με συλλογισμούς που επιβεβαιώνονται στη συνέχεια με πειραματικές διαδικασίες. Π.χ. ο Ήλιος και το Φεγγάρι, οι διαστάσεις τους δεν υπερβαίνουν τις διαστάσεις ενός δίσκου για τον πρωτόγονο άνθρωπο. Έρχεται όμως να συμπληρώσει την παρατήρηση η Λογική όπου σταδιακά και μεθοδικά με μαθηματικούς υπολογισμούς θα δώσει τις πραγματικές διαστάσεις.

Όσον αφορά στη θερμότητα του ήλιου, άλλο η αίσθηση και η επίδραση στον άνθρωπο (πάντα μιλάμε για την αρχική εμπειρική μορφή της γνώσης από τον πρωτόγονο άνθρωπο) και άλλο η πραγματική διάσταση της παραγόμενης θερμότητας του ήλιου βάσει της λογικής και πειραματικής έρευνας.

Το ίδιο θα λέγαμε και για την αίσθηση των χρωμάτων, όπως το πράσινο που αντιλαμβανόμαστε είναι η σύνθεση του μπλε με το κίτρινο κ.ο.κ., και γενικότερα απ’ ό,τι μας λέει ο Αριστοτέλης, εντελεχώς, το χρώμα είναι φως.

Έτσι φτάνουμε σ’ ένα άλλο αισθητήριο όργανο (αυτί) που συλλαμβάνει τον ήχο και ρυθμό και κατ’ επέκταση την Μουσική. Με τον ρυθμό που κινείται το σύμπαν και τον παραγόμενο ήχο μέσα από την κίνηση των γαλαξιών και αστρικών συστημάτων. Εναρμονιζόμενα αυτά δημιουργούν τη συμπαντική συμφωνία. Αυτό που ο Πυθαγόρας πρώτος ονόμασε αρμονία ή «Νόμο των Σφαιρών». Μια συμφωνία που το αισθητήριο ανθρώπινο όργανο (αυτί) δεν έχει την ικανότητα να συλλάβει, αλλά με τη γνώση της αστρονομίας και των μαθηματικών με τη συνεπικουρία νόησης και λογικής ώστε να γίνεται κατανοητή η ύπαρξή της. Διότι στα γενικά γνωρίσματα του Πυθαγορισμού ως πρώτο αναφέρεται η μεταφυσική των αριθμών και η αντίληψη ότι η πραγματικότητα συμπεριλαμβανομένης της Μουσικής και της Αστρονομίας είναι στο βαθύτερο επίπεδο της μαθηματικής φύσης. Έτσι ο άνθρωπος συγκλονιζόμενος μέσα από το μυστήριο του κοσμικού ενστίκτου του γίγνεσθαι και της συμπαντικής συμφωνίας, γίνεται εκ σπέρματος φορέας ήχου και ρυθμού.

Η μουσική και τα μαθηματικά, που είναι συνυφασμένα και δομημένα στην ανθρώπινη ύπαρξη, είναι ταυτόσημες έννοιες μεγαλειώδεις και αναγκαίες. Και τούτο γίνεται ευκολότερα κατανοητό εάν αναλογιστούμε ότι είναι τα μοναδικά μέσα επικοινωνίας όλων των λαών της γης, ακόμα και η προσπάθεια που γίνεται για επικοινωνία με εξωγήινους πολιτισμούς επιχειρείται δια μέσου αυτών δηλ. Μαθηματικά και Μουσική. Σαν πρώτη αρχή της σχετικοποίησης Μαθηματικά–Μουσική–Αστρονομία έχομε αυτή του Πυθαγόρα και τους μετέπειτα πυθαγόρειους. Ο Πυθαγόρας με τον γνωστό «Νόμο των Σφαιρών» αλλά και με το επίσης γνωστό «Μονόχορδό» του διατύπωνε την θεωρία του και μας λέει ότι η Μουσική είναι πάνω απ’ όλα μαθηματική επιστήμη, η ουσία της οποίας είναι οι αριθμοί, και η ομορφιά της η αισθητική έκφραση των αρμονικών σχέσεων των αριθμών. Η Μουσική είναι η εικόνα της ουράνιας Αρμονίας. Σαν πρώτη γραπτή μαρτυρία που έχομε για την αρμονία και το «Νόμο των σφαιρών» κατά τον Πυθαγόρα, είναι, από τον μεταγενέστερο και δεύτερης γενιάς πυθαγόρειο, τον φιλόσοφο και μαθηματικό Αρχύτα τον Ταραντίνο 400-350 π.Χ. Ο Αρχύτας θεωρείται ως ο θεμελιωτής της μαθηματικής μηχανικής αλλά και ως ο σημαντικότερος μελετητής της ακουστικής στην Αρχαία Ελλάδα.

Ο Πλάτων στον Τίμαιο, σ’ ένα από τους τελευταίους πλατωνικούς διαλόγους (και για τον οποίο η Δρ. Κελεσίδου ειδική στο έργο της πλατωνικής φιλοσοφίας λέει ότι τον θεωρεί το πιο κομψό κοσμολογικό σύγγραμμα), στηριζόμενος στις θεωρίες των πυθαγορείων, και ο ίδιος μεγαλοφυής μαθηματικός, προσαρμόζει σ’ ένα νέο κοσμολογικό-μαθηματικό-αρμονικό σύστημα τη δημιουργία του κόσμου. Από την σοφία ενός θείου δημιουργού και μέσα από τις μαθηματικές αναλογίες και συμμετρίες, συσχετίζει την κίνηση του ουρανού με τον Μουσικό λόγο, και οικοδομεί την ψυχή του κόσμου καθώς και το αθάνατο μέρος της ανθρώπινης ψυχής. Κατά τον Πλάτωνα οι αρμονικές σχέσεις των αριθμών μεταφράζονται στους πλανήτες. Η δε Αστρονομία και Μουσική τις θεωρεί ότι είναι αδελφές επιστήμες. Μια άλλη άποψη, με αναφορά στους Πυθαγορείους έχομε από τον Αριστοτέλη στο κεφάλαιο περί Ουρανού 290b12. Ο Αριστοτέλης κάνοντας αναφορά στους ισχυρισμούς των Πυθαγορείων για το «Νόμο των σφαιρών» και για τη μη ικανότητα της Ανθρώπινης ακοής να συλλάβει αυτή τη συμπαντική Μουσική (φωνή) είπε: «Λένε ότι ο ήχος αυτός υπήρχε στ’ αυτιά μας από τότε που γεννηθήκαμε και έτσι δεν ξεχωρίζει από την αντίθετή της που είναι η σιωπή, διότι η αντίθεση ήχου και σιωπής προκαλεί την διαφοροποίηση και διάγνωση αυτή. Και σαν παράδειγμα αναφέρει τους χαλκοματάδες των οποίων ο θόρυβος γύρω τους δεν γίνεται αντιληπτός λόγω της συνήθειας». Ο Αριστοτέλης την θεωρία των Πυθαγορείων την σχολιάζει και δέχεται ότι είναι προϊόν συλλογικών παρεμβάσεων μέσω κάποιων Πυθαγορείων αποφεύγοντας να κατονομάσει επακριβώς τους εισηγητές αυτής της θεωρίας, καθώς επίσης και να κάνει κάθε αναφορά στον ίδιο τον Πυθαγόρα. Την θεωρεί δε πολύ κομψή και πρωτότυπη, όμως με το επιστημολογικό κριτικό και μεθοδικό πνεύμα που τον διακρίνει, την απορρίπτει.

Επίσης αναφορές για το «Νόμο των σφαιρών» έχομε και από τους Νεοπυθαγορείους τον Πλίνιο 23-79 μ.Χ. και τον Νικόμαχο τον Γερασηνό (2^ο αιώνα μ.Χ.). Ο μεν πρώτος στη φυσική του ιστορία (Historia Naturalis 1122) λέει ότι ο Πυθαγόρας, ονόμαζε την απόσταση από τη Γη στη Σελήνη ένα τόνο, την απόσταση από την Σελήνη στον Ερμή ένα ημιτόνιο, από την Αφροδίτη  στον Ήλιο ένα τόνο & μισό (1 ½) κ.ο.κ. σχηματίζοντας μια υποθετική, με βάση το πλανητικό σύστημα, Κλίμακα. Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός υποστηρίζει πως τα ονόματα των επτά μουσικών φθόγγων προήλθαν από τους επτά πλανήτες και την θέση τους σε σχέση με την Γη. Από την κίνηση του Κρόνου, που είναι ο πλέον απομακρυσμένος από εμάς πλανήτης, η ψηλότερη νότα στη διαπασών ονομάστηκε Υπάτη, διότι ύπατος είναι ο πιο ψηλός. Από την κίνηση της Σελήνης, που είναι ο χαμηλότερος και κοντινότερος σε εμάς πλανήτης ονομάστηκε Νήτη διότι νέατον είναι το χαμηλόν. Έτσι μας δίνει ένα πίνακα της «Αρμονίας των Σφαιρών» με την εξής σειρά: Κρόνος – Υπάτη, Δίας – Παραϋπάτη, Άρης – Λιχανός, Ήλιος – Μέση, Ερμής – Παραμέση, Αφροδίτη – Παρανήτη, και τέλος Σελήνη – Νήτη.

Αυτή η κλίμακα που η μαθηματική της σχέση είναι ως γνωστόν 1, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, στα λατινικά, κατά τον μεσαίωνα πήρε την ονομασία: Do, Re, Mi, Fa, Sol, La, Si, απο τον Γκουϊντο ντ’ Αρέτσο (Guido d’ Arrezzo) περίπου το 990-1050, θεωρητικό της μουσικής, του οποίου οι κανόνες χρησίμευσαν ως βάση για την σύγχρονη σημειογραφία της δυτικής μουσικής.

Στα νεότερα Ελληνικά οι ονομασίες των φθόγγων είναι: Τονική – Επιτονική – Μέση – Υποδεσπόζουσα – Δεσπόζουσα – Επιδεσπόζουσα – Προσαγωγέας.

Επανερχόμενος στον Πυθαγόρα και την σχολή του την οποία ονόμαζε – ΟΜΑΚΟΕΙΟΝ – από το ομού + ακοός (αυτό που θα λέγαμε συνακροατής) ορκίζονταν στην ιερά «Τετρακτύ» το σύμβολο το οποίο κατά τον Πυθαγόρα αναπαριστά πλήρως τη μουσική αριθμητική Τάξη της παγκοσμίου Αρμονίας. Πριν μπούμε στην διαδικασία να αναλύσουμε τι σήμαινε τετρακτύς για τους Πυθαγορείους, θα κάνομε μια σύντομη αναφορά με τον γενικότερο όρο «Τετρακτύς» για τους μεταπυθαγορείους & νεοπλατωνικούς. Ο Θέων ο Σμυρναίος, νεοπλατωνικός φιλόσοφος (τέλη 1^ου με αρχές 2^ου αιώνα περίπου) μνημονεύεται ότι έγραψε τρία έργα εκ των οποίων διεσώθη το ένα. «Των κατά των μαθηματικών χρησίμων εις την Πλάτωνος ανάγνωσιν». Έτσι μας έμεινε μια σημαντικότατη πηγή αξιόπιστων πληροφοριών για τις Πυθαγόρειες μελέτες συλλέγοντάς τες μέσα από την μελέτη των διαλόγων του Πλάτωνος. Εκεί ο Θέων αναλύει έντεκα τρόπους με τους οποίους σχηματίζεται «Τετρακτύς». Κατά τον Θέωνα τον Σμυρναίο υπάρχουν έντεκα τετρακτύες, που η καθεμία από αυτές εκφράζει ένα τομέα της Φιλοσοφικής σκέψης στην Αρχαιότητα.

Κατ’ αρχάς υπάρχουν δύο τετρακτύες αριθμών, «η μία που σχηματίζεται με πρόσθεση, η άλλη με πολλαπλασιασμό και οι οποίες τετρακτύες εσωκλείουν τους Μουσικούς, τους γεωμετρικούς και τους αριθμητικούς λόγους από τους οποίους σχηματίζεται η αρμονία του σύμπαντος». Οι δύο τετράδες είναι 1, 2, 3, 4 και 1, 3, 9, 27. Ο Θέων ο Σμυρναίος ανέλυσε την διπλή «τετρακτύ» με το σχήμα το οποίο ονομάζουμε Πυθαγόρειο Λάβδωμα, γιατί μοιάζει με το γράμμα Λ, και την οποία ο Πλάτων στον Τίμαιο σχηματίζει και αποκαλεί ψυχή του κόσμου.

Οι άλλες τετρακτύες αναπαριστούν αντιστοιχίσεις.

Η 3^η τετρακτύς:

α) το σημείο

β) την γραμμή

γ) την επιφάνεια

δ) το στερεό

Η 4^η τετρακτύς:

α) το πυρ

β) αέρα

γ) ύδωρ

δ) τη γη

Η 5^η τετρακτύς:

α) Πυραμίδα (τετράεδρο)

β)8-εδρο

γ) 20-εδρο

δ) κύβο (6-εδρο)

Η 6^η τετρακτύς είναι εκείνη των δημιουργημένων πραγμάτων. Αντιστοιχίζει:

1^ον Το σπέρμα, ανάλογο του σημείου

2^ον Αύξηση μήκους ανάλογη της γραμμής

3^ον Αύξηση πλάτους ανάλογο της επιφάνειας

4^ον Αύξηση βάθους ανάλογο του στερεού

Η 7^η τετρακτύς «είναι εκείνη των κοινωνιών» και αντιστοιχίζει:

1^ον τον άνθρωπο

2^ον την οικογένεια

3^ον την κωμόπολη

4^ον την πόλη

«επειδή είναι από αυτά τα στοιχεία που συντίθεται το Έθνος». Όλες αυτές οι τετρακτύες είναι υλικές και αισθητές.

Η 8^η τετρακτύς «περιέχει τους παράγοντες με τους οποίους μπορούμε να κάνουμε κρίσεις πάνω στα προηγούμενα και που είναι εν μέρει διανοητικά».

1^ον η σκέψη

2^ον η επιστήμη

3^ον η γνώμη

4^ον η αίσθηση

Η 9^η τετρακτύς «είναι το λογιστικό, το θυμικό, το επιθυμητικό και το σώμα».

Η 10^η τετρακτύς «είναι η άνοιξη, το καλοκαίρι, το φθινόπωρο κι ο χειμώνας»

Η 11^η τετρακτύς:

1^ον το παιδί

2^ον ο έφηβος

3^ον ο ώριμος άνθρωπος

4^ον ο γέρος

«Η Τετρακτύς» του Πυθαγόρα και η θεωρία της Αρμονίας και κατ’ επέκταση η σχέση μαθηματικών – μουσικής παριστάνεται από ένα τέλειο τρίγωνο και αριθμητικά από τον τρίγωνο αριθμό 10.

Σύμφωνα με μια μαρτυρία του Λουκιανού, ο Πυθαγόρας ζήτησε από κάποιον να αριθμήσει, όταν εκείνος είπε 1, 2, 3, 4 τον διέκοψε λέγοντας «Βλέπεις αυτά που εσύ θεωρείς τέσσερα είναι δέκα, τέλειο τρίγωνο και ο όρκος μας». Η τετρακτύς λοιπόν είναι η τετράδα η οποία αποτελεί τον τρίγωνο αριθμό 10 ως εξής:

Έτσι έχομε στη σειρά που μας δίνει ο πρώτος με τον δεύτερο, την 8^η, ο δεύτερος με τον τρίτο την 5^η, και ο τρίτος με τον τέταρτο την 4^η .

Ένας άλλος θεωρητικός τρόπος σχηματισμού των βασικών διαστημάτων 8^η 5^η 4^η βγαίνει και μέσα από τον κύβο, ο οποίος έχει 6 έδρες, 8 κορυφές, και 12 αιχμές. Οι αριθμοί 12 και 6 δίνουν την αναλογία 2/1, οι 8 και 6 αντίστοιχα την αναλογία 4/3 ενώ οι αριθμοί 12 και 8 την αναλογία 3/2.

Τελικά οι θεωρίες αυτές των αναλογιών που αντιστοιχούν στον Μουσικό λόγο αποδείχθηκαν και στην πράξη από τα πειράματα που έκανε ο Πυθαγόρας με τον Κανόνα. Το γνωστό ως «Μονόχορδο του Πυθαγόρα» το οποίο χωρίζοντάς το ακριβώς στη μέση έδωσε τη λεγόμενη 8^η δηλαδή η ίδια νότα αλλά υψηλότερη κατά μία 8^η. Εν συνεχεία διαιρώντας την χορδή κατά τα 2/3 δίνει το διάστημα 5^ης, κατά τα ¾ δίνει το διάστημα 4^ης. Οι υπόλοιποι φθόγγοι της κλίμακας κατασκευάζονται χρησιμοποιώντας τον λόγο 9/8: 1 x 9/8 = 9/8 δηλ. για την παραγωγή του θα ταλαντώνονται τα 8/9 της χορδής. Ο τρίτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του δευτέρου (9/8) αν και πάλι πολλαπλασιαστεί με 9/8: 9/8 x 9/8 = 81/64 δηλαδή θα ταλαντώνονται τα 64/81 της χορδής. Ο έκτος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του πέμπτου (παράμεση) που πολλαπλασιάζεται με 9/8 1: 2/3 x 9/8 = 27/16 δηλ. θα ταλαντώνονται τα 16/27 της χορδής. Και τέλος ο έβδομος φθόγγος προκύπτει από τον λόγο του έκτου και πάλι πολλαπλασιαζόμενου με 9/8 δίνοντας 1: 16/27 x 9/8 = 243/128 που σημαίνει ότι θα ταλαντώνονται τα 128/243 της χορδής. Περισσότερες λεπτομέρειες για την μαθηματική προσέγγιση του μουσικού λόγου διαβάζομε στο βιβλίο του καθηγητή Κώστα Μπέη «Η θεωρία για τον λόγο» όπου διεξοδικότερα αναλύει ο Δρ. Αντώνης Καλαμπάκας (σελ. 65).

Πέρα από το μονόχορδο ο Πυθαγόρας πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις ιδιότητες τους που συνθέτουν τα μουσικά διαστήματα, όπως η τάση των χορδών ίσου μήκους και πάχους ή το μήκος ηχητικού σωλήνα κτλ. Έτσι ώστε συνετέλεσε να κατασκευαστούν μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια. Η Πυθαγόρεια μουσική κλίμακα με την πάροδο του χρόνου μπορεί να έλαβε διάφορες τροποποιήσεις όμως είχε χαράξει πλέον τον δρόμο όπου ακόμα και σήμερα ακολουθούν οι σύγχρονες μουσικές κλίμακες. Τελειώνοντας με τους αρχαίους και κυρίως με τον Πυθαγόρα που έθεσε την βάση για την ταύτιση των μαθηματικών με την μουσική, μια σύντομη αναφορά στον Αριστόξενο τον Ταραντίνο 357 π.Χ., μαθητή του Αριστοτέλη, φιλόσοφο και σπουδαίο θεωρητικό της μουσικής, διότι ήταν ο πρώτος που έθιξε μια δωδεκάφθογγο κλίμακα και τον συγκερασμό, για τον οποίο χρειάστηκε να περάσουν αιώνες και να ακολουθήσει ο Bach για να συνθέσει τα 24 Πρελούδια και Φούγκες για πιάνο σε όλους τους χρωματικούς και εναρμόνιους φθόγγους. Το καλώς συγκερασμένο κλειδοκύμβαλο (Wohltemperιertes Klavier). Η κλίμακα του Αριστόξενου η οποία αργότερα τροποποιήθηκε ελαφρά από τον Τζαρλίνο (Zarlino 1517 – 1590) σε μήκη χορδών ξεκινώντας από το Ντο έχει ως εξής:

Ο Αριστόξενος αντιμετώπισε επίσης πρώτος επιστημονικά και τον ρυθμό ξεκινώντας από την «Άρσιν» και την «Βάσιν» το ύψωμα (ελαφρότερο) και το κατέβασμα (βαρύτερο) του ποδιού, κάτι που δημιουργεί τουλάχιστον έναν συνειρμό με τα νεότερα «ισχυρά» και «ασθενή» μέρη του μέτρου. Αξίζει να υπογραμμιστεί ότι ένας από τους περισσότερο καταρτισμένους θεωρητικά πρωτοποριακός συνθέτης και μαθηματικός, ο Ιάνης Ξενάκης διαβλέπει στον Αριστόξενο «το βασικό σχήμα μιας ιεραρχικοποιημένης δομής, όλης της Αρχαίας Ελληνικής μουσικής, όπου διαδοχικά το απλό και επιμέρους εντασσόταν στο σύνθετο και γενικό». Ο Ιάνης Ξενάκης 1921 – 2001 αλλά πρωτίστως ο Σέμπερk (Arnold Schönberg 1874 – 1951) που είναι και ο δημιουργός ενός άλλου τρόπου σύνθεσης, της λεγόμενης δωδεκάφθογγης και συραϊκής γραφής. Στηριζόμενοι στην έννοια της δωδεκάφθογγης κλίμακας του Αριστόξενου, δημιουργούν ένα άλλο τρόπο μουσικών δεδομένων. Παρατηρούμε στους δυο αυτούς μεγάλους δημιουργούς μουσικών ιδεών πως ο μεν Schönberg μέσα από τις νότες μιας δωδεκάφθογγης χρωματικής κλίμακας ανακαλύπτει και δημιουργεί αριθμητικά σύνολα και σειρές με μαθηματικούς υπολογισμούς. Κατά τέτοιο τρόπο ώστε έχουμε την μια όψη ενός νομίσματος, δηλαδή την μετάβαση από τις νότες (φθογγόσημα) στους αριθμούς. Ενώ ο Ξενάκης ακολουθώντας έναν άλλο δρόμο μας δείχνει την άλλη όψη του νομίσματος που είναι η μετάβαση από τα μαθηματικά στις νότες μέσω των μοριακών και κλαδικών μαθηματικών υπολογισμών και συστημάτων.

Για τους αρχαίους η έννοια της αρμονίας που αναπτύξαμε διεξοδικώς ήταν μια σχέση οριζοντίων διαστημάτων που φυσικά ήταν και η βάση μέσω μαθηματικών υπολογισμών να βρεθούν διαστήματα (και κατ’ επέκταση η μουσική κλίμακα) που ικανοποιούσε την ακοή μας και φυσικά δημιουργούσε την αισθητική για την έκφραση των συναισθημάτων. Με το πέρασμα όμως του Μεσαίωνα, όπου επικρατούσε μέχρι το τέλος του το μονοφωνικό σύστημα της οριζόντιας γραφής, έρχεται να συμπληρώσει και η κάθετη μορφή διαστημάτων (συγχορδίες) αυτό που σήμερα λέμε στην μουσική παιδεία, σπουδές ανωτέρων θεωρητικών, και είναι από τη μία η τέχνη της αρμονίας η οποία θεωρείται η γραμματική της μουσικής και η άλλη η αντίστιξη που θεωρείται το συντακτικό της μουσικής.

Το δύσκολο στην εκμάθηση της δομής ενός αρμονικού συνόλου δεν είναι τόσο η ανάπτυξη των συγχορδιών που στηρίζονται και αυτές σε τύπους και αναπτύσσονται σαν τις μαθηματικές ταυτότητες πχ (α+β)²=α²+β²+2αβ, αλλά στην διαδοχή και στην μετάβαση από την μία συγχορδία στην άλλη, δημιουργώντας έτσι μια στέρεα αλυσίδα αρμονικών σχέσεων, αλλήλων και επαλλήλων συγχορδιών, δύναται μια τέλεια αρμονική συνήχηση των καθέτων και οριζοντίων διαστημικών ταλαντώσεων (συχνότητες). Η πολυπλοκότητα των αρμονικών σχέσεων των συγχορδιών τόσο στην ανάπτυξη των καθέτων διαστημάτων όσο και στη σύνδεση των οριζοντίων διαστημάτων, είναι τεράστια – ανεξάντλητη. Έτσι που δίνει την δυνατότητα στο δημιουργό μουσικών ιδεών (Συνθέτη) ανάλογα με την παιδεία του, το ταλέντο του και τέλος την προσωπικότητά του να δημιουργεί το δικό του ύφος ή ακόμα και το ύφος της εποχής του. Τελεολογικά η σχέση μαθηματικών – μουσικής αποφθεγματοποιώντας την θα έλεγα ότι «η μουσική είναι συνδυασμός τέχνης & επιστήμης. Τέχνη είναι όταν εκφράζουμε τα συναισθήματά μας μέσω της μουσικής και επιστήμη, όταν ανακαλύπτομε τη μουσική μέσα από τα μαθηματικά».

Έτσι έχοντας σαν βάση στην σύνθεση στο χώρο της μουσικής μια σύγχρονη «τετρακτύς» (την οποία θ’ ανακοινώσω και θα αναπτύξω εν συντομία) στηρίζεται όλο το μουσικό οικοδόμημα, από τον 16^ο αιώνα μέχρι σήμερα και κυρίως από τον Χάϋντν (Joseph Haydn 1732-1808) τον πατέρα της συμφωνίας όπως τον αποκαλούν. Η αναφορά μου γίνεται συγκεκριμένα πάνω στο συμφωνικό έργο, γιατί το θεωρώ το πληρέστερο, πιο μεγαλειώδες και πνευματικό μουσικό δημιούργημα. Η «τετρακτύς» την οποία και τοποθετώ σαν βάση στη σύνθεση και κατ’ επέκταση στις τετράδες που ακολουθούν στο συμφωνικό έργο και στη συμφωνική ορχήστρα που το ερμηνεύει, δικαιώνουν και επιβεβαιώνουν τον Πυθαγόρα και τους Πυθαγόρειους για τον όρκο που έπαιρναν πάνω σ’ αυτή μέχρι και σήμερα. Εξάλλου όπως είναι γνωστόν άλλη μια «τετρακτύς» αναφέρεται στα τέλη του 20^ου αιώνα στο χώρο της φυσικής σαν βαριονική δεκάδα (barion decuple) η οποία παριστάνει γεωμετρικά μορφώματα σωματιδίων σύμφωνα με τις κβαντικές τους ιδιότητες. Έτσι που η «τετρακτύς» στο χώρο της μουσικής δημιουργίας αναλύοντάς την και αναπτύσσοντάς την έχει ως εξής:

Τα οριζόντια διαστήματα (τα μελωδικά)

Τα κάθετα αρμονικά διαστήματα (συγχορδίες)

Την ρυθμική αγωγή  4/4, 2/4, 3/4, 6/8, 9/8 κ.ο.κ.

Και την φόρμα (την μικρότερη) όπου και τοποθετούνται όλα τα προηγούμενα υλικά για την ανάπτυξη ενός έργου α + β + α΄.

Τα μεν οριζόντια και κάθετα διαστήματα τα αναπτύσσομε αριθμητικά με 1, 2, 3 ½, και την ρυθμική αγωγή την μετρούμε κλασματικά 4/4, 3/4, 2/4, 6/8, 9/8 κ.ο.κ. και τέλος την φόρμα του έργου με γεωμετρική πρόοδο 2 – 4 – 8 κ.ο.κ. Διότι:

– τα δύο μέτρα αποτελούν το μοτίβο

– τα τέσσερα μέτρα τη φράση

– τα οκτώ μέτρα μια περίοδο

και τέλος σχηματίζομε την απλή τριμερή μορφή όπου έχομε: α=8+β=8+α ή γ8=24   κ.ο.κ.

Το συμφωνικό έργο αποτελείται από τέσσερα μέρη.

– γρήγορο ή γοργό

– αργό ή πολύ αργό

– γρήγορο

– πολύ γρήγορο.

Αυτά σε γενικές γραμμές.

Η συμφωνική ορχήστρα που το ερμηνεύει αποτελείται από τέσσερις μεγάλες οικογένειες οργάνων, η κάθε οικογένεια αποτελείται από τέσσερα μέλη. Έτσι έχομε:

– την οικογένεια εγχόρδων

– την οικογένεια ξύλινων πνευστών

– την οικογένεια χάλκινων πνευστών

– την μεγάλη οικογένεια κρουστών.

Τα δε μέλη των τεσσάρων οικογενειών έχουν ως εξής:

Οικογένεια Εγχόρδων: Βιολί – Βιόλα – Βιολοντσέλο – Κοντραμπάσο

Οικογένεια Ξύλινων πνευστών: Φλάουτο – Όμποε – Κλαρινέτο – Φαγγότο

Οικογένεια Χάλκινων πνευστών: Τρομπέτα – Κόρνο – Τρομπόνι – Τούμπα

Οικογένεια Κρουστών με βάση το Ταμπούρο – τα Χάλκινα Πιάτα – τα Τύμπανα – και την Γκραν Κάσα.

Τελειώνοντας την ανακοίνωσή μου περί «τετρακτύος» και τις τετράδες που απαριθμώ, αλλά και με όσα ανέλυσα για την σχέση μαθηματικών – μουσικής ολοκληρώνουμε την γόνιμη πορεία μιας σκέψης, για να δικαιώσομε τον πρωτεργάτη μεγάλο μαθηματικό & φιλόσοφο Πυθαγόρα και τους μετέπειτα Πυθαγόρειους. Οι οποίοι διέσωσαν στήριξαν και προώθησαν την σχέση μαθηματικών και μουσικής, καθώς και τον μέγιστο Πλάτωνα με αναφορές του στον Τίμαιο.

Παρ’ όλες τις μαθηματικές, επιστημονικές και φιλοσοφικές αναλύσεις που γίνονται για την μουσική, η μουσική είναι πάνω απ’ όλα ουσία (εντελέχεια) που αυτοορίζεται και αυτοδικαιώνεται, επειδή ακριβώς είναι λόγος. Ο λόγος που επιδρά στον Άνθρωπο καταλυτικά δημιουργώντας του ένα αίσθημα ανάτασης εξευγενισμού και πληρότητας, τόσο ψυχικής όσο και πνευματικής.

* Εισήγηση στα φιλοσοφικά συμπόσια στην Υποδοχή Θεοφάνεια του Κέντρου Δικανικών Μελετών, την Τετάρτη, 28 Μαϊου 2008.

Σούλης Παπανικολάου

Θεωρητικός της Μουσικής – Συνθέτης

Πηγή…