Τοιχογραφία του Ραφαήλ που απεικονίζει την Ακαδημία του Πλάτωνα. Στην είσοδό της κατά την αρχαιότητα είχε την επιγραφή “Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω μοι την θύραν”. Επιγραφή που φανερώνει την αξία που έδινε ο Πλάτωνας στην θεωρητική γεωμετρία για την ανύψωση του ατόμου στον κόσμο των Ιδεών. Άποψη που ανέδειξε τη γεωμετρία σε τέχνη του ορθού συλλογισμού. Συγχρόνως όμως την απομάκρυνε από τη σύνδεσή της με μηχανικές εφευρέσεις και κατασκευές. Aυτή η σύνδεση αποκαταστάθηκε αργότερα στα ελληνιστικά χρόνια από τον Αρχιμήδη , τον Ήρωνα κ.α. Στα αριστερά της εικόνας διακρίνεται να εξηγεί τα θεωρήματά του ο Πυθαγόρας. Στα δεξιά του παρακολουθεί με ενδιαφέρον ο Ευκλείδης.
1. Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟΝ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ
Η συμμετρία που κατεξοχήν εκφράζει την καλαισθησία και την ομορφιά είναι διάσπαρτη στον φυσικό κόσμο. Μερικές εικόνες μας πείθουν Η φύση λοιπόν γεωμετρεί!
Η συμμετρία στη φύση
Η συμμετρία στη βιολογία είναι η ισόρροπη κατανομή των διπλών μερών του σώματος ή του σχήματος ενός ζωντανού οργανισμού. Το σώμα ή το σχέδιο των περισσότερων πολυκύτταρων οργανισμών παρουσιάζουν κάποια μορφή συμμετρίας , είτε ακτινική συμμετρία ή διμερής συμμετρίας ή «σφαιρική συμμετρία». Μια μικρή μειοψηφία δεν παρουσιάζουν συμμετρία (είναι ασύμμετρη).
Στη φύση και τη βιολογία , η συμμετρία είναι κατά προσέγγιση. Για παράδειγμα, τα φύλλα των φυτών, ενώ θεωρούνται συμμετρικά, σπάνια θα ταιριάζουν ακριβώς όταν διπλώνονται στη μέση.
Η αμφίπλευρη συμμετρία της πεταλούδας.
Ένα μήλο κομμένο με συμμετρία. Διμερή συμμετρία.
Οι θαλάσσιες ανεμώνες και οι μέδουσες : απεικόνιση με ακτινωτή συμμετρία.
Εικόνες συμμετρίας από το ζωικό βασίλειο εδώ
2. Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ!
Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο για την κατασκευή των κελιών της κερήθρας; Ιδού το ερώτημα!
1. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.
2. Επιπλέον αποτελεί την καλύτερη διαμέριση για την αποθήκευση μέγιστου όγκου μελιού.Αποδεικνύεται με ανώτερα μαθηματικά ( λογισμό μεταβολών ) ότι αν θέλουμε να διαμερίσουμε ( να χωρίσουμε σε μικρότερα τμήματα ) ένα δοχείο ώστε να περιέχεται όσο το δυνατό μέγιστος όγκος στα κελιά της διαμέρισης αυτό επιτυγχάνετε με την επιλογή κανονικών εξαγώνων. Η μέλισσα δηλαδή γνωρίζει και ανώτερα μαθηματικά!
Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;
Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο»;
Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα, εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των κελιών της, είναι τρία. Το ισόπλευρο τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό εξάγωνο. Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους. Π.χ. τα πεντάγωνα , τα επτάγωνα, οκτάγωνα κλ.π δεν «κουμπώνουν» επακριβώς μεταξύ των. Αφήνουν ενδιάμεσο κενό χώρο. (π.χ. Πενταγωνική και οκταγωνική διάταξη)
Γιατί όμως η μέλισσα επιλέγει το κανονικό εξάγωνο και όχι το ισόπλευρο τρίγωνο ή το τετράγωνο; Ιδού το ερώτημα! Γνωρίζουμε ότι η μέλισσα σε κάθε κελλί εναποθέτει την αυτή ποσότητα μελιού. Ας υποθέσουμε ότι το απαιτούμενο εμβαδόν για κάθε κελί είναι 1 τετραγωνική μονάδα. Αν κατασκεύαζε π.χ. τετραγωνικές κυψελίδες τότε αυτές θα είχαν πλευρά 1 μονάδα μήκους, οπότε 1 Χ 1=1 τετραγωνική μονάδα. Αν θα κατασκεύαζε ισόπλευρες τριγωνικές κυψελίδες, τι μήκος θα έπρεπε να έχει η κάθε πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να είναι ισοδύναμο με 1 τετραγωνική μονάδα;
Από τον τύπο υπολογισμού του εμβαδού (*) οποιουδήποτε κανονικού πολυγώνου επιλύουμε ως προς a και για εμβαδόν = 1 τετρ. μονάδα, βρίσκουμε ότι το τρίγωνο θα έπρεπε να έχει μήκος πλευράς ίσο με = 1,52 μονάδες μήκους.
Αν κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίσουμε το μήκος της πλευράς του ισοδύναμου κανονικού εξαγώνου, βρίσκουμε ότι το μήκος της πλευρά του ισούται με 0,62 μονάδες μήκους.
Επομένως :
– στην περίπτωση της τριγωνικής κατασκευής η περίμετρος του τριγώνου ισούται με 3 Χ 1,52 = 4,56 μονάδες μήκους.
– στην περίπτωση της τριγωνικής κατασκευής η περίμετρος του τριγώνου ισούται με 3 Χ 1,52 = 4,56 μονάδες μήκους.
– στην περίπτωση κατά την οποία η μέλισσα θα κατασκεύαζε ορθογωνικά κελιά το καθένα θα είχε περίμετρο 4 Χ 1 = 4 μονάδες μήκους.
– στην περίπτωση της εξαγωνικής κατασκευής η περίμετρος του κάθε κελιού ισούται με 0,62 Χ 6 = 3,72 μονάδες μήκους.
Συμπέρασμα:
Παρατηρούμε ότι η επιλογή του εξαγωνικού σχήματος δεν είναι τυχαία. Αφενός μεν «κλείνει» επακριβώς το επίπεδο χωρίς κενά, αλλά είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο. Δηλαδή η μέλισσα δαπανά λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της.
Και συνεχίζω με κάτι πιο εντυπωσιακό. Η πλευρά του εξαγώνου (=0,62) σε σχέση με την πλευρά του ισοδυνάμου τετραγώνου (=1) έχουν σχέση χρυσής τομής. Πράγματι ο λόγος 1 / 0,62 = 1,62 όπου 1,62 = φ. Ο νόμος της τέλειας αρμονίας σε όλο του το μεγαλείο. Η πλευρές δηλαδή του των ισοδυνάμων τετραγώνου και εξαγώνου σχηματίζουν το χρυσό ορθογώνιο στο οποίο ο λόγος των πλευρών ισούται με 1,62 ήτοι =φ. Για τον αριθμό φ βεβαίως θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε ολόκληρη πραγματεία αλλά δεν είναι επί του παρόντος. Αρκεί να αναφέρουμε ότι όλες οι αρμονικές σχέσεις στην φύση καθορίζονται από αυτόν το ιεροκρύφιο αριθμό. Οι αρχαίοι Έλληνες ήταν οι πρώτοι που τον είχαν προσδιορίσει μαθηματικώς και τον εφάρμοζαν σε κάθε καλλιτεχνική τους δημιουργία, γλυπτική αρχιτεκτονική, μουσική. (συμβολίζεται με το γράμμα της ελληνικής αλφαβήτου φ προς τιμή του Φειδία). Και εύλογα διερωτάται κανείς! Ποιος έβαλε τις συγκεκριμένες γεωμετρικές πληροφορίες στα απειροελάχιστα εγκεφαλικά κύτταρα αυτού του ζουζουνιού;
Και όπως λέει το διαφημιστικό σλόγκαν «Τυχαίο;», Μόνον που εδώ δεν απαντάμε «Δεν νομίζω» αλλά «Βεβαίως όχι!!!». «Δεν είναι καθόλου τυχαίο!!!»
3. Η ΚΑΝΟΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΜΙΑΣ ΝΙΦΑΔΑΣ ΧΙΟΝΙΟΥ
“Παρατηρώντας μια νιφάδα χιονιού στο μικροσκόπιο παρατήρησα ότι είναι ένα θαύμα ομορφιάς και είναι κρίμα να μην μπορεί να ειδωθεί από όλους. Είναι ένα σχεδιαστικό αριστούργημα και κανένα δεν επαναλαμβάνεται παρά εμφανίζεται μόνο μια φορά. Τέτοια ομορφιά τι κρίμα να λιώνει και να χάνεται”. Αυτά είπε ένας αγρότης των Η . Π. Α όταν με το μικροσκόπιο του και την φωτογραφική του μηχανή το 1925 απαθανάτισε τις εικόνες της απίστευτης κανονικότητας , συμμετρίας και καλαισθησίας της νιφάδας του χιονιού.
Ιδωμένη μ’ ένα μεγεθυντικό φακό, η ομορφιά της χιονονιφάδας αποκαλύπτεται : ένα μικροσκοπικό γεωμετρικό κόσμημα, μια ζωντανή ένδειξη της περίπλοκης μορφής και της γοητείας που κρύβουν τα σχήματα της φύσης.
Όπως υποδηλώνει κι ο τίτλος του βιβλίου του, ο πρώτος που έθεσε το γρίφο του εξαγωνικού σχήματος της χιονονιφάδας ήταν ο Κέπλερ : ” Πρέπει να υπάρχει κάποιος λόγος για τον οποίο, όποτε χιονίζει, οι αρχικοί σχηματισμοί του χιονιού επιδεικνύουν πάντα ένα εξάγωνο σχήμα. Γιατί δεν πέφτουν νιφάδες με πέντε ή επτά γωνίες ; γιατί πάντα με έξι, δεδομένου ότι δεν πέφτουν συμπυκνωμένες, αλλά παραμένουν διάσπαρτες ; “
Έχοντας μεγάλη εμπειρία σχετικά με τα σχήματα της φύσης και τα μαθηματικά τους ανάλογα, ο Κέπλερ έδωσε μια καλή εξήγηση για την εξαπλή συμμετρία της χιονονιφάδας. Γνωρίζοντας ότι το χιόνι αποτελείται από συμπυκνωμένο ατμό, θεώρησε ότι πήζει σε σταγονίδια συγκεκριμένου σχήματος που έχουν επίσης έναν συγκεκριμένο τρόπο επαφής, συμπεραίνοντας ότι : ” Το εξαγωνικό σχήμα επιλέγεται από την σχηματική προσαρμογή κι από την αναγκαιότητα της ύλης, έτσι ώστε να μην υπάρχουν κενά και η συγκέντρωση του ατμού σε σχηματισμούς χιονιού να γίνει πιο ομαλά. “
Ακόμη, συνδέοντας την εξαπλή μορφή της χιονονιφάδας με την κρυσταλλική φύση του πάγου, γρήγορα κατευθύνθηκε προς την ιδέα ότι αποτελούνται από μεγάλο αριθμό πανομοιότυπων μικροσκοπικών μονάδων συνταιριασμένων σε σχήματα με κανονικότητα.
Όταν λοιπόν κάποιος δει στο μικροσκόπιο μια νιφάδα του χιονιού θα θαυμάσει το συμμετρικό σχήμα της. Πρόκειται για ένα μικροσκοπικό εξαγωνικό κρύσταλλο, που αποτελείται από έξι σχεδόν όμοια πέταλα. Έτσι αν τον περιστρέψουμε κατά 60 ή κατά 120 μοίρες γύρω από το κέντρο του θα φαίνεται ακριβώς όμοιος. O κρύσταλλος δηλαδή παραμένει αναλλοίωτος κάτω από έναν τέτοιο μετασχηματισμό περιστροφής, γεγονός που χαρακτηρίζει τη συμμετρία του.
Πολύ κομψές εικόνες νιφάδων ειδωμένες στον μεγεθυντικό φακό εδώ
4. Τα ζώα και τα… ανώτερα μαθηματικά
Αν τα ποτάμια και οι αράχνες εντυπωσιάζουν όσους ασχολούνται με τη γεωμετρία υπάρχουν άλλα ζώα, όπως οι πυγολαμπίδες και τα τζιτζίκια που μας εισάγουν σε? ανώτερα μαθηματικά.
Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.
«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου!
Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.
Εδώ και δεκάδες χρόνια βιολόγοι είχαν παρατηρήσει ότι οι αρσενικές πυγολαμπίδες στις όχθες ποταμών της Μαλαισίας και της Ταϊλάνδης κατάφερναν να συγχρονίσουν τις λάμψεις τους με εκπληκτική ακρίβεια. Για την εξήγηση του φαινομένου χρειάστηκε η παρέμβαση φυσικών και μαθηματικών, όπως ο Στίβεν Στρόγκατζ από το πανεπιστήμιο Κορνέλ.
«Ουσιαστικά, έχουμε να κάνουμε με ενα πρόβλημα μαθηματικών και όχι βιολογίας» λεει χαρακτηριστικά ο ίδιος ο Στρόγκατζ, ο οποίος στήριξε τις έρευνές του στη θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης που χρησιμοποιείται για την μελέτη συστημάτων που αλληλεπιδρούν μέσω συντονισμού. Η θεωρία της συζευγμένης ταλάντωσης πρωτοεμφανίστηκε το 17ο αιώνα, όταν μαθηματικοί της εποχής παρατήρησαν πως δυο ή περισσότερα εκκρεμή που βρίσκονταν στο ίδιο δωμάτιο, ύστερα από μεγάλα χρονικά διαστήματα, άρχιζαν να συγχρονίζονται, λόγω των δονήσεων που μετέδιδαν το ενα προς το άλλο μέσω του τοίχου!
Παρεμφερή φαινόμενα συντονισμού τα οποία δεν έχουν εξηγηθεί πλήρως παρατηρούνται αρκετές φορές και σε τζιτζίκια και άλλα ζώα που παράγουν ταυτόχρονα τους ίδιους ήχους.
5. Πρώτοι αριθμοί και… Τζιτζίκια Τα τζιτζίκια, όμως, και συγκεκριμένα τα είδη Magicicada Septendecim και magicicada tredecim, παρουσίασαν ενα ακόμα χαρακτηριστικό για την εξήγηση του οποίου οι βιολόγοι ζήτησαν και πάλι τη βοήθεια των μαθηματικών. Και τα δυο αυτά είδη εμφανίζονται κάθε 17 και 13 χρόνια αντίστοιχα, ζευγαρώνουν, γενούν τα αυγά τους και πεθαίνουν.
Το υπόλοιπο διάστημα της ζωής τους παραμένουν ως νύμφες κάτω από το έδαφος. Σημασία εδώ έχει ότι ο κύκλος εμφάνισής τους είναι πάντοτε πρώτος αριθμός, δηλαδή διαιρείται μόνο με τον εαυτό του και τη μονάδα.
Το γεγονός αυτό οδήγησε αρκετούς επιστήμονες στο συμπέρασμα ότι η μαθηματική αυτή ακρίβεια τα προστατεύει από κάποιο φυσικό κίνδυνο με παρόμοια χαρακτηριστικά περιοδικής εμφάνισης. Ενα σενάριο προέβλεπε ότι το τζιτζίκι επιχειρεί να αποφύγει κάποιο παράσιτο με παρόμοιο κύκλο ζωής. Αν, λόγου χάρη, το παράσιτο εμφανίζεται κάθε 4 χρόνια, το τζιτζίκι «αποφεύγει» έναν κύκλο που διαιρείται με το 4, αν εμφανίζεται κάθε 5 αποφεύγει έναν κύκλο που διαιρείτε με το 5 κ.ο.κ.
6. Η ΧΡΥΣΗ ΑΝΑΛΟΓΙΑ
ΚΑΙ Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI
Ο Fibonacci ήταν πολύ γνωστός στην εποχή του και αναγνωρίζεται σήμερα ως ο μεγαλύτερος μαθηματικός του Μεσαίωνα. Γεννήθηκε στη δεκαετία του 1170 και πέθανε το 1250.Η σειρά Fibonacci είναι η σειρά στην οποία ο κάθε αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγουμένων της σειράς και είναι η
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, … Ο λόγος δυο διαδοχικών ζευγαριών της σειράς ονομάζεται χρυσή αναλογία και είναι ο φ=1.618033989.
Ο αντίστροφος του αριθμού είναι ο 0.618033989 δηλαδή 1/φ=φ+1.Τα φυτά δε γνωρίζουν για την ακολουθία Fibonacci, απλά μεγαλώνουν με τον πιο πρόσφορο και αποδοτικό τόπο. Όμως η ακολουθία κάνει την εμφάνισή της στη διάταξη των φύλων γύρω από το μίσχο. Εμφανίζεται επίσης στην ανάπτυξη των βελόνων αρκετών ειδών ελάτου, καθώς επίσης και στη διάταξη των πετάλων στις μαργαρίτες και τα ηλιοτρόπια. Μερικά κωνοφόρα δένδρα παρουσιάζουν τη σειρά αριθμών στη δομή της επιφάνειας των κορμών τους, ενώ τα φοινικόδενδρα στους δακτυλίους των κορμών τους.Όμως πώς προκύπτει αυτή η διάταξη, αυτή η συμμετρία σε σχέση με την ακολουθία; Στην περίπτωση του φυλλώματος μπορεί να σχετίζεται με τη μεγιστοποίηση του χώρου που είναι διαθέσιμος για την ανάπτυξη κάθε φύλλου ή το φώς πρέπει να πέφτει πάνω στο κάθε φύλλο. Η φύση προφανώς δεν προσπαθεί να χρησιμοποιήσει την ακολουθία Fibonacci, αυτή εμφανίζεται ώς το δευτερεύον αποτέλεσμα μιας πολύ βαθύτερης φυσικής διαδικασίας.Οι πολυάριθμες εμφανίσεις της χρυσής αναλογίας, και των χρυσών ορθογωνίων στην τέχνη, είναι αντικείμενο συζητήσεων και ερευνών μεταξύ των ψυχολόγων για το κατά πόσο οι άνθρωποι αντιλαμβάνονται το χρυσό ορθογώνιο για παράδειγμα, ώς πιο όμορφο και αρμονικό σχήμα από οποιοδήποτε άλλο ορθογώνιο. Πέρα όμως από τα επιστημονικά δεδομένα η χρυσή αναλογία, ο αριθμός φ, περιβάλλεται από ένα πέπλο μυστηρίου, κυρίως γιατί εντυπωσιακές προσεγγίσεις του απαντώνται, εντελώς απρόσμενα σε ένα σωρό μέρη στη φύση. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.
Tα μαθηματικά και το τριαντάφυλλο – Ακολουθία FibonacciΠιάνει στα χέρια του το τριαντάφυλλο και το παρατηρεί προσεκτικά . Διαπιστώνει ότι πάνω στο λουλούδι τα ροδοπέταλα διατάσσονται σε σπειροειδή μορφή. Παίρνει ένα μαχαιράκι και κόβει το λουλούδι. Ξεκινώντας από το κέντρο καταγράφει μια ομάδα με 5 ροδοπέταλα , που ξεφυτρώνουν από την ίδια περιοχή, η αμέσως ευρύτερη ομάδα έχει ( συμπεριλαμβανόμενης των πετάλων της προηγούμενης ) 8 ροδοπέταλα συνολικά, η επόμενη μεγαλύτερη ομάδα
( συμπεριλαμβανόμενων και των εσωτερικών) περιλαμβάνει συνολικά 13,
η επόμενη 21 και το σύνολο είναι 34 ροδοπέταλα.
Οι συγκεκριμένοι αριθμοί του κάνουν εντύπωση . Τα ροδοπέταλα διατάσσονται έτσι ώστε οι αριθμοί που προκύπτουν να είναι
όροι της ακολουθίας Fibonacci. ( σύνδεση )
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. . .
Καθένας από τους όρους της προκύπτει από το άθροισμα των δύο που προηγούνται.
Σε γλώσσα Άλγεβρας αν = αν-1 + αν-2
Στο τριαντάφυλλο τα ροδοπέταλα που μέτρησε εκείνος ήταν τριαντατέσσερα.
Σε ρόδο με περισσότερα πέταλα θα είναι πενήντα πέντε.
Αν φτιάξουμε μια νέα ακολουθία με όρους τους λόγους των διαδοχικών όρων της προηγούμενης θα έχουμε 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21. . – με προσέγγιση θα είναι 1,5, 1,667, 1,6, 1,625, 1,615 1,619 . . – και θα διαπιστώσουμε ότισυγκλίνει προς έναν αριθμό. Μπορούμε να αποδείξουμε ότι ο αριθμός προς τον οποίο συγκλίνει η ακολουθία θα είναι ο φ, ο αριθμός (1+Ö5) /2ή – με τρία δεκαδικά – ίσος με 1, 618, ο αριθμός που αντιστοιχεί στη ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ.
Χωρίζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο κομμάτια. Στη γλώσσα της ελληνικής Γεωμετρίας λέμε ότι κάνουμε μια ΤΟΜΗ η οποία είναι ΧΡΥΣΗ εφόσον ο λόγος του μεγάλου προς το μικρό είναι ίσος με το λόγο ολόκληρου προς το μεγάλο.
Η ακολουθία Fibonacci και τα κουνέλια
Το πρόβλημα έχει ως εξής:
Σε ένα σπίτι στο χωριό γεννιέται ένα ζευγάρι κουνέλια. Τα κουνέλια αυτά χρειάζονται 2 μήνες για να μεγαλώσουν και να αρχίσουν να γεννούν. Έτσι μετά από δύο μήνες το ζευγάρι αυτό γεννά ένα νέο ζευγάρι στην αρχή κάθε μήνα. Τα νέα ζευγάρια μεγαλώνουν και αναπαράγονται κι αυτά με τον ίδιο τρόπο. Πόσα ζευγάρια κουνέλια θα έχουμε μετά από 3 μήνες , 4 μήνες , 6 μήνες , μετά από ένα χρόνο;
Απάντηση:
Στην αρχή του πρώτου μήνα έχουμε 1 ζευγάρι κουνέλια
Στην αρχή του δεύτερου μήνα έχουμε πάλι ένα ζευγάρι
Στην αρχή του τρίτου μήνα το ζευγάρι γεννά και έχουμε 2 ζευγάρια
Στην αρχή του τέταρτου μήνα το πρώτο ζευγάρι γεννά πάλι , αλλά το δεύτερο δεν είναι σε θέση
ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο.
Σύνολο 5 ζευγάρια
ακόμη, δηλαδή 3 ζευγάρια.
Στην αρχή του πέμπτου μήνα γεννά πάλι το αρχικό ζευγάρι , γεννά και το δεύτερο , δε γεννά το τρίτο.
Σύνολο 5 ζευγάρια
Έτσι, το πλήθος των ζευγαριών των κουνελιών στην αρχή κάθε μήνα είναι 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .. Παρατηρήστε ότι κάθε αριθμός στην ακολουθία είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Αυτό είναι λογικό να συμβαίνει μια και στην αρχή κάθε μήνα έχουμε τα ζευγάρια που είχαμε τον προηγούμενο μήνα και επιπλέον τόσα νεογέννητα ζευγάρια όσα και ενήλικα ζευγάρια γονέων έχουμε.
Άρα οι αριθμοί Fibonacci είναι: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,….. με τον κάθε αριθμό να προκύπτει από το άθροισμα των δύο προηγούμενων του.
1+1=2 , 1+2=3 , 3+5=8 , 5+8=13 ,…..
7. To σχήμα της γης.Αποδεικνύεται μαθηματικά ότι το σχήμα της γης
( πεπλατυσμένο σφαιροειδές ) είναι το ιδανικό για την ελαχιστοποίηση της έλξης της βαρύτητας στα εξωτερικά της άκρα.
8. Η αυτοομοιότητα στη φύσηΤρία χαρακτηριστικά παραδείγματα φυσικών αντικειμένων που εκδηλώνεται η αυτοομοιότητα είναι το κουνουπίδι, η φτέρη και οι ακτογραμμές.
α. Η φτέρη ανήκει στην κατηγορία των φυτών που εκδηλώνουν την ιδιαιτερότητα της αυτοομοιότητας με τον καλύτερο τρόπο.
Μια φτέρη αποτελείται από φύλλα καθένα από τα οποία αποτελείται από πολλά μικρότερα. Και αυτά ακόμα τα μικρά φύλλα αποτελούνται από ακόμα μικρότερα που διατηρούν την ίδια δομή με τη φτέρη.
β. Αν από ένα κουνουπίδι αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι αυτό μοιάζει με το αρχικό, θα είναι ένα μικρότερο αντίγραφο. Αν από το πρώτο αποσπάσουμε ένα κομμάτι θα διαπιστώσουμε ότι είναι ακόμα μικρότερο αλλά εξακολουθεί να μοιάζει με το αρχικό.
γ. Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φράκταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κόλποι και α κρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή. Η αυτοομοιότητα στα μαθηματικά φράκταλ.
γ. Ας παρατηρήσουμε χάρτες που περιγράφουν ακτογραμμές σε διαφορετικές κλίμακες. Αυτό που μας αποκαλύπτεται είναι μια όμοια κατανομή κόλπων και ακρωτηρίων. Μπορούμε να θεωρήσουμε ότι μια ακτογραμμή παρουσιάζει φράκταλ δομή με την έννοια ότι αν μεγεθύνεται εμφανίζονται νέοι κόλποι και α κρωτήρια και παρόλα αυτά εξακολουθεί να μοιάζει με ακτογραμμή. Η αυτοομοιότητα στα μαθηματικά φράκταλ.
Η στοιχειώδης μοντελοποίηση μιας φτέρης μπορεί να πραγματοποιηθεί με τη χρήση ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος. Ένα μικρό πρόγραμμα που περιλαμβάνει πολλαπλές αναδρομικές κλήσεις, συνήθως, είναι αρκετό για να μοντελοποιήσουμε ορισμένα ενδιαφέρονα μαθηματικά φράκταλ όπως για παράδειγμα η φτέρη, το τρίγωνο του Sierpinski, τα φράκταλ δέντρα και η χιονονιφάδα του Koch η οποία φαίνεται στην παρακάτω εικόνα. Δείχνει ένα ισόπλευρο τρίγωνο με μήκος πλευράς 3l. Στο κεντρικό τμήμα κάθε πλευράς τοποθετείται ένα όμοιο τρίγωνο με μήκος πλευράς l και η διαδικασία επαναλαμβάνεται απεριόριστα, δίνοντας ως αποτέλεσμα την λεγόμενη νιφάδα τού Koch.
‘Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα “κλάσμα”, αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.
Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3)…. δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.
‘Ενα άλλο βασικό χαρακτηριστικό ενός φράκταλ είναι η μαθηματική παράμετρος που ονομάζεται διάσταση fractal D.
Αυτό είναι ένα χαρακτηριστικό που παραμένει το ίδιο άσχετα με το πόσο πολύ θα μεγεθυνθεί το αντικείμενο ή υπό ποία γωνία θα παρατηρηθεί. Η διάσταση fractal εκφράζεται με εναν μη ακέραιο αριθμό, δηλαδή από ένα “κλάσμα”, αντίθετα προς την ευκλείδεια γεωμετρία.
Στο παραπάνω παράδειγμα, η περίμετρος κάθε σχήματος αυξάνει σε σχέση με αυτή τού αμέσως προηγουμένου σχήματος κατά τον λόγο 4 προς 3. Η διάσταση fractal D είναι η δύναμη στην οποία πρέπει να υψωθεί το 3 για να δώσει 4, δηλαδή 3D = 4. Η διάσταση που χαρακτηρίζει την περίμετρο τού fractal του ανωτέρω σχήματος είναι log4/log3 ή πρoσεγγιστικά 1 ,26.
Το μήκος της περιμέτρου τού fractal είναι 3l*(4/3)*(4/3)…. δηλαδή άπειρο, αλλά περικλείει ένα πεπερασμένο εμβαδόν που είναι μικρότερο από το εμβαδόν τού περιγεγραμμένου κύκλου στο αρχικό τρίγωνο. Η διάσταση fractal D αποκαλύπτει ακριβώς τις λεπτές διαφορές και την πολυπλοκότητα ενός μη ευκλείδειου σχήματος.
9. Βιομαθηματικά σχέδια
Πώς οι ζωντανοί οργανισμοί εκφράζουν πολύπλοκες συμπεριφορές και σχέδια, που δεν είναι προγραμματισμένα στο γενετικό τους κώδικα.
Παρά τη χαμηλή της θέση στο δέντρο της ζωής, η αμοιβάδα Δικτυοστήλιο επιστημονικά, όπως λέγεται αυτό το είδος μούχλας, καταφέρνει να σχηματίσει θαυμάσια σπειροειδή σχήματα. Σε ποιο βαθμό αυτά τα σχέδια είναι προδιαγεγραμμένα στα γονίδια της αμοιβάδας; Υπάρχει πραγματικά γονίδιο για σπείρες;
Για να απαντήσουμε στην ερώτηση αυτή πρέπει να ξέρουμε πώς οι αμοιβάδες φτιάχνουν τις σπείρες. Τα σχέδια αυτά είναι στην πραγματικότητα αποτέλεσμα μιας συλλογικής δραστηριότητας. Τα σχέδια εμφανίζονται όταν η τροφή αρχίσει να μειώνεται. Οι αμοιβάδες αρχίζουν να πλησιάζουν προς ένα σημείο και στην πορεία αυτή συνήθως σχηματίζουν μια όμορφη λεπτή σπείρα. Το πλήθος των αμοιβάδων γίνεται όλο και πιο πυκνό και η σπείρα πιο σφιχτή. Σε κάποιο σημείο «σπάει» σε κλάδους. Τα κλαδιά παχαίνουν και καθώς όλο και περισσότερες αμοιβάδες προσπαθούν να φτάσουν στο κέντρο της σπείρας σχηματίζουν ένα σωρό, γνωστό σαν «γυμνοσάλιαγκα» (δεν έχει καμιά σχέση με το μαλάκιο γυμνοσάλιαγκας).
Ο «γυμνοσάλιαγκας» είναι μια αποικία αμοιβάδων, αλλά κινείται σαν να ήταν ένας οργανισμός. Μόλις βρει ένα στεγνό μέρος προσδένεται στο έδαφος και αναπτύσσει ένα βλαστό. Στην κορυφή του βλαστού σχηματίζεται μια σφαίρα που περικλείει αμοιβάδες που μεταμορφώθηκαν σε σπόρους. Κάποια στιγμή ο αέρας παρασύρει τους σπόρους και ο κύκλος ξαναρχίζει απ’ την αρχή.
Ο Τόμας Χόφερ, βιοφυσικός στο Πανεπιστήμιο Χούμπολτ του Βερολίνου ανακάλυψε ένα απλό σύστημα μαθηματικών εξισώσεων που αναπαράγει τόσο τις σπείρες των αμοιβάδων όσο και τα σχέδια που κάνουν κατά τη διαδικασία συγκέντρωσής τους.
10. ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΗΣΗΣ ΑΠΟΙΚΙΩΝ ΜΥΡΜΗΓΚΙΩΝ
Τα μυρμήγκια αναπτύσσουν μια τεχνική για να βρουν τη συντομότερη διαδρομή από τη φωλιά τους προς την πηγή της τροφής τους και αντίθετα. Τα μυρμήγκια ξεκινούν την αναζήτηση της τροφής γύρω από την πηγή με τυχαίο τρόπο και καθώς κινούνται αφήνουν μια ποσότητα μίας ουσίας που ονομάζεται φερομόνη και με αυτό τον τρόπο μαρκάρουν το μονοπάτι που έχουν διανύσει. Η ποσότητα της φερομόνης στο κάθε μονοπάτι εξαρτάται από την απόσταση, την ποιότητα και την ποσότητα της τροφής που βρέθηκε. Το επόμενο μυρμήγκι που θα φύγει από τη φωλιά του είναι πολύ πιθανό να ακολουθήσει τη φερομόνη που θα υπάρχει σε κάποιο μονοπάτι, αφήνοντας μια ποσότητα φερομόνης στο ίδιο μονοπάτι. Καθώς η ποσότητα φερομόνης στο συγκεκριμένο μονοπάτι όλο και αυξάνεται, όλο και περισσότερα μυρμήγκια ακολουθούν αυτό το μονοπάτι. Όμως καθώς η ώρα περνάει η φερομόνη, ιδιαίτερα από τα μονοπάτια που δεν πηγαίνουν πολλά μυρμήγκια, ελαττώνεται. Τελικά από όλα τα υπόλοιπα μονοπάτια η φερομόνη εξαφανίζεται και όλα τα μυρμήγκια ακολουθούν τελικά το ίδιο μονοπάτι, που είναι και η βέλτιστη ή η σχεδόν – βέλτιστη λύση….
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
” Η Τέχνη αναπαριστά με εικόνες και αντικείμενα τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Τα μαθηματικά μελετούν τις σχέσεις και τις μορφές της φυσικής ή φανταστικής πραγματικότητας. Η πρώτη δημιουργεί , οπτικοποιεί , η άλλη μελετά”.
” Ο μαθηματικός όπως ένας ζωγράφος ή ένας ποιητής είναι ένας σχεδιαστής. Ο ζωγράφος φτιάχνει σχέδια με σχήματα και χρώματα , ο ποιητής με ιδέες. Τα μαθηματικά σχεδιάσματα , όπως εκείνα του ποιητή ή του ζωγράφου πρέπει να είναι όμορφα. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά”. Ηardy
Άγγλος μαθηματικός στο βιβλίο του : ” Η Απολογία ενός μαθηματικού”.
Άγγλος μαθηματικός στο βιβλίο του : ” Η Απολογία ενός μαθηματικού”.
“O αληθινός μαθηματικός νιώθει τα ίδια συναισθήματα με το έργο του όπως κι ένας καλλιτέχνης. Νιώθει δηλαδή ευχαρίστηση”.
Poincare.
“Γιατί είναι όμορφοι οι αριθμοί; Είναι σα να ρωτάς γιατί είναι όμορφη η ένατη συμφωνία του Beethoven. Αν δεν μπορείς να το δεις από μόνος σου, δεν μπορεί να σου το πει κανείς. Γνωρίζω ότι τα μαθηματικά είναι όμορφα. Αν δεν είναι αυτά όμορφα, τότε τίποτα δεν είναι.”
Paul Erdos
“Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.”
“Η έμπνευση στη γεωμετρία είναι το ίδιο απαραίτητη, όσο και στην ποίηση.”
– ΠΟΥΣΚΙΝ
“Ένας μαθηματικός, που δεν είναι λίγο ποιητής, δεν θα γίνει ποτέ τέλειος μαθηματικός.”»
Karl Weierstrass
“Διασχίζω συνεχώς το σύνορο μεταξύ μαθηματικών και τέχνης”.
OM.C. Escher, ένα κράμα καλλιτέχνη και επιστήμονα που έγινε παγκοσμίως γνωστός για τις ασυνήθιστες λιθογραφίες και ξυλογραφίες του. Τα μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης του είναι ένα ταξίδι μεταξύ της φαντασίας, των μαθηματικών και της πραγματικής ζωής.
ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ
Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι, φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.
Τα μαθηματικά από τότε μέχρι και σήμερα εξακολουθούν να παίζουν ένα σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη των διαφόρων μορφών της τέχνης Σ’ όλες τις εποχές αναδείχθηκαν εξέχουσες μορφές της τέχνης, οι οποίες χρησιμοποίησαν τα μαθηματικά ως το βασικό συστατικό της τέχνης τους. Είναι προφανές ότι δεν είναι δυνατόν να υπάρξουν κανόνες ή όρια σχετικά με τα θέματα ή τις ιδέες της μαθηματικής τέχνης. Υπάρχουν όμως κάποια θέματα τα οποία έχουν χρησιμοποιηθεί περισσότερο και δείχνουν ότι έχουν κερδίσει την προτίμηση ορισμένων καλλιτεχνών. Μεταξύ αυτών είναι τα πολύεδρα, τα ψηφιδωτά, τα ανέφικτα σχήματα, οι ταινίες Möbious και τα fractals.
Ο LeonardodaVinci (1402-1519) είναι γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία εμφανίζονται κανονικά. Ο Johaneskepler (1580-1630) επίσης πέρα από τη αστρονομία είχε μεγάλο ενδιαφέρον για τη δημιουργία γεωμετρικών ψηφιδωτών.
Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» ο νους μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη MauritsEscher (1898-1972), ο οποίος δικαίως θεωρείται ο πατέρας αυτού του είδους της τέχνης. Η εργασία του αποτελεί μια αστείρευτη πηγή έμπνευσης για πολλούς σύγχρονους σημαντικούς καλλιτέχνες. Οι λιθογραφίες, οι ξυλογλυφίες και οι χαλκογραφίες του βρίσκονται κρεμασμένες στα σπίτια μαθηματικών και επιστημόνων σ’ όλο τον κόσμο. Πολλά έργα του έχουν ως βάση κάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών, όπως αυτά του MartinGardner. ΟEscher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τεχνική με την οποία χωρίζει το επίπεδο.
Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» ο νους μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη MauritsEscher (1898-1972), ο οποίος δικαίως θεωρείται ο πατέρας αυτού του είδους της τέχνης. Η εργασία του αποτελεί μια αστείρευτη πηγή έμπνευσης για πολλούς σύγχρονους σημαντικούς καλλιτέχνες. Οι λιθογραφίες, οι ξυλογλυφίες και οι χαλκογραφίες του βρίσκονται κρεμασμένες στα σπίτια μαθηματικών και επιστημόνων σ’ όλο τον κόσμο. Πολλά έργα του έχουν ως βάση κάποια μαθηματικά θέματα που έχουν κατά καιρούς αναλυθεί σε βιβλία ψυχαγωγικών μαθηματικών, όπως αυτά του MartinGardner. ΟEscher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τεχνική με την οποία χωρίζει το επίπεδο.
Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών όσο και απροσδόκητων εικόνων, οι οποίες βασίζονται σε νόμους της συμμετρίας, της θεωρίας συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας.
Ο SalvatorDali (1904-1989) ήταν ένας άλλος διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά-τοπολογικά στοιχεία. Ο Dali απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης», υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα.Στα τέλη του 19ου αιώνα – αρχές του 20ου, μιαομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τους Peano,
Ο SalvatorDali (1904-1989) ήταν ένας άλλος διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά-τοπολογικά στοιχεία. Ο Dali απεικόνισε σε πολλά έργα του τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων. Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης», υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα.Στα τέλη του 19ου αιώνα – αρχές του 20ου, μιαομάδα μαθηματικών με επικεφαλής τους Peano,
Hilbert, Cesaro, Koch και Sierprinski, μεταξύ άλλων, διαμόρφωσαν μια νέα οικογένεια καμπύλων με αλλοπρόσαλλες μαθηματικές ιδιότητες, οι οποίες ξέφευγαν από κάθε άλλο προηγούμενο. Αντίθετα προς την παραδοσιακή γεωμετρία που βασιζόταν στα τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους, τις ελλείψεις κλπ, αυτή η νέα γεωμετρία περιγράφει περιστρεφόμενες καμπύλες, σπιράλ και ίνες οι οποίες περιτυλίσσονται μεταξύ τους έτσι ώστε να δίνουν περίπλοκα σχήματα, οι λεπτομέρειες των οποίων να χάνονται στο άπειρο.
Τα έργα του Van Gogh χαρακτηρίζουν χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή οι ανεμοστρόβιλοι.
Τα έργα του Van Gogh χαρακτηρίζουν χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή οι ανεμοστρόβιλοι.
Το 1977, με τη βοήθεια ενός Computer, ο Γάλλο-Πολωνικής καταγωγής επιστήμονας Benoit Mandelbrot, κατόρθωσε να πάρει την πρώτη εικόνα αυτής της νέας γεωμετρίας, η οποία στη συνέχεια ονομάστηκε Φράκταλ γεωμετρία. Το 1980, η δημοσίευση του βιβλίου του με τίτλο «Η φράκταλ γεωμετρία στη φύση», έκανε δημοφιλή τη γεωμετρία αυτή και είχε ως αποτέλεσμα τη δημιουργία ανάλογων εντυπωσιακών σχημάτων.
Την τελευταία δεκαετία διαφαίνεται μια τάση για παραπέρα ανάπτυξη των αποκαλούμενων μαθηματικώς δημιουργούμενων σχημάτων και εικόνων, δηλαδή σχημάτων ή εικόνων που παράγονται από Η/Υ με την κατάλληλη εφαρμογή κάποιων μαθηματικών τύπων ή αλγορίθμων. Παράδειγμα τέτοιων σχημάτων με μεγάλη αισθητική απήχηση αποτελεί το σύνολο Mandelbrot, το οποίο προέρχεται από την επαναληπτική διαδικασία επανεισαγωγής των τιμών στη συνάρτηση , όπου το z είναι μιγαδική μεταβλητή που ξεκινάει από το 0 και το c ένας τυχαίος μιγαδικός σταθερός αριθμός που αντιπροσωπεύει το σημείο του επιπέδου που εξετάζεται. Όταν αναπαρασταθεί στην οθόνη ενός υπολογιστή το σύνολο αυτό, δίνει την εικόνα μιας καρδιάς με οίδημα
Απίθανες εικόνες φράκταλς υπέροχης ομορφιάς θα βρείτε : εδώ κι εδώ Απολαύστε τις !
Απίθανες εικόνες φράκταλς υπέροχης ομορφιάς θα βρείτε : εδώ κι εδώ Απολαύστε τις !
ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ ΝΤΑ ΒΙΝΤΣΙ
Ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι χρησιμοποιεί την παραστατική γεωμετρία στον σχεδιασμό πολλών έργων του. Κάποια σχέδια του μοιάζουν έντονα με ανεμόπτερο ή ελικόπτερο. Αναδεικνύεται έτσι η επιστημπονική χροιά των έργων του και η στροφή του προς το μέλλον.
ΙΣΛΑΜΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΤΕΧΝΗ
Έρευνα για τη μεσαιωνική ισλαμική τέχνη αποκάλυψε ότι μερικά από τα γεωμετρικά μοτίβα που χρησιμοποιεί, βασίζονται σε αρχές που ανακαλύφθηκαν αιώνες αργότερα από τους μαθηματικούς της Δύσης.
Μελέτη της μεσαιωνικής ισλαμικής τέχνης έδειξε πως ορισμένες γεωμετρικές παραστάσεις βασίζονται σε αρχές των μαθηματικών που ανακαλύφθηκαν αιώνες αργότερα από μοντέρνους μαθηματικούς. Αμερικανοί ερευνητές, αναφέρει το BBC, έχουν βρει δείγματα τέχνης του 15ου αιώνα, στα οποία εμφανίζεται η έννοια της «κρυσταλλικής γεωμετρίας».
Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗΝ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
“Ο Πυθαγόρας υποστήριζε ότι αποτελεί μια από τις κρυμμένες αρμονίες της φύσης. Ο Ικτίνος τη χρησιμοποίησε στην κατασκευή του Παρθενώνα και ο Ντα Βίντσι στα υπέροχα γυμνά του. Κανένας όμως δεν μπορούσε να φανταστεί ότι χαρακτηρίζει τη μορφή φυσικών σχηματισμών σε όλες τις κλίμακες των μεγεθών, από τις μικρότερες, όπως είναι τα όστρακα, ως τις μεγαλύτερες, όπως είναι οι κυκλώνες και οι γαλαξίες. Πρόκειται για τη Χρυσή Τομή”.
Οι αρχαίοι έλληνες μαθηματικοί, με τη γνωστή αδυναμία τους στην τελειότητα της αρμονίας, είχαν δώσει ξεχωριστή σημασία στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος σε «μέσο και άκρο λόγο». H αρκετά σκοτεινή αυτή διατύπωση σημαίνει, με απλά λόγια, να χωρίσουμε μια γραμμή σε δύο άνισα τμήματα, έτσι ώστε ο αριθμός που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος του μεγάλου τμήματος με το μήκος του μικρού να ισούται με τον αριθμό που παίρνουμε αν διαιρέσουμε το μήκος ολόκληρης της γραμμής με το μήκος του μεγάλου. Ο αριθμός αυτός ονομάστηκε από τους αρχαίους Χρυσή Τομή ή θεία αναλογία και ισούται, περίπου, με 1,62. Κατά τους αρχαίους Ελληνες η Χρυσή Τομή διαιρούσε μια γραμμή με τον τελειότερο αισθητικά τρόπο, και για τον λόγο αυτόν ο Πλάτωνας θεωρούσε ότι ο αριθμός αυτός βρίσκεται στον υπερουράνιο τόπο. H φαινομενικά απλή αυτή κατασκευή απέκτησε μεγάλη σημασία με το πέρασμα των αιώνων. Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι υπάρχουν άνθρωποι με ψηλά πόδια και άλλοι με κοντά. Ο μεγάλος ζωγράφος της Αναγέννησης Λεονάρντο ντα Βίντσι θεωρούσε ότι από όλους τους δυνατούς τύπους ανθρώπινων σωμάτων φαίνεται πιο «φυσικός» στο ανθρώπινο μάτι εκείνος στον οποίο ο ομφαλός χωρίζει το σώμα σε μέσο και άκρο λόγο. Ετσι για έναν «μέσο» άνθρωπο με ύψος 1,80 μέτρα, ο ομφαλός βρίσκεται σε απόσταση 1,10 από το έδαφος.
Πέρα όμως από τη διαίρεση ευθύγραμμων τμημάτων, η Χρυσή Τομή παίζει σημαντικό ρόλο στην αισθητική των επιφανειών. Για παράδειγμα, αν παρουσιάσετε σε μια ομάδα ανθρώπων ορθογώνια παραλληλόγραμμα με διάφορες αναλογίες πλευρών, οι περισσότεροι επιλέγουν ως «αρμονικότερο» αυτό του οποίου οι πλευρές έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. H τάση αυτή ήταν ήδη γνωστή στους αρχιτέκτονες της αρχαίας Ελλάδας, όπως δείχνει το γεγονός ότι η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. Η χρυσή τομή συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα φ, το αρχικό του ονόματος του Φειδία, δημιουργός των γλυπτών του Παρθενώνα(Χαρακτηριστικό παράδειγμα Αρχιτεκτονικής όπου συναντάται ο λόγος χρυσής τομής στις αναλογίες των πλευρών του.). Επίσης συναντάμε την χρυσή τομή από την πυραμίδα του Χέοπα και της Γκίζας στην αρχαία Αίγυπτο μέχρι στις μεσαιωνικές εξωτερικές διαρρυθμίσεις την κτιρίων.
H σημασία της Χρυσής Τομής όμως δεν περιορίζεται στις καλές τέχνες, όπως ίσως θα μπορούσε να συμπεράνει κανείς εκ πρώτης όψεως. Οι πραγματικά ενδιαφέρουσες εφαρμογές ξεκινούν από την κατασκευή, με τη βοήθεια της Χρυσής Τομής, ενός άλλου γεωμετρικού σχήματος, που ονομάζεται Λογαριθμική Σπείρα. H κατασκευή αυτή βασίζεται στην ακόλουθη ιδιότητα των «χρυσών» ορθογωνίων. Αν «κόψουμε» ένα τετράγωνο από ένα τέτοιο ορθογώνιο, τότε το μικρότερο ορθογώνιο που απομένει είναι πάλι «χρυσό»! Με τον τρόπο αυτόν μπορούμε να κατασκευάσουμε μια ακολουθία από ολοένα και μικρότερα «χρυσά» ορθογώνια, που βρίσκονται το ένα μέσα στο άλλο. H λογαριθμική σπείρα είναι το σχήμα που σχηματίζεται σε αυτή την ακολουθία των χρυσών ορθογωνίων, αν εγγράψουμε σε κάθε τετράγωνο ένα τεταρτοκύκλιο.
Αν οι άνθρωποι επιλέγουν τη Χρυσή Τομή για αισθητικούς λόγους, τι μπορούμε να πούμε για τη φύση, που επιλέγει τη λογαριθμική σπείρα για να «κατασκευάσει» μια πληθώρα από δομές; Οι επιστήμονες έχουν διαπιστώσει με έκπληξη ότι η λογαριθμική σπείρα εμφανίζεται σε σχήματα φυσικών αντικειμένων με εντελώς διαφορετικές ιδιότητες. Στη μικρότερη κλίμακα εμφανίζεται στα όστρακα πολλών θαλάσσιων οργανισμών, όπως για παράδειγμα είναι ο ναυτίλος. Στην ενδιάμεση κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των κυκλώνων, όπως αποτυπώνεται χαρακτηριστικά στις φωτογραφίες των μετεωρολογικών δορυφόρων. Τέλος στη μεγαλύτερη δυνατή κλίμακα εμφανίζεται στο σχήμα των σπειροειδών γαλαξιών, τεράστιων σχηματισμών από εκατοντάδες δισεκατομμύρια αστέρια, τους οποίους μπορούμε να απολαύσουμε στις φωτογραφίες των σύγχρονων τηλεσκοπίων.
Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. H ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. H δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με «παγκόσμιες» ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου διά τη διάμετρό του. Για τον λόγο αυτόν οι μαθηματικοί παριστάνουν τη Χρυσή Τομή με ένα άλλο ελληνικό γράμμα, το φι, οπότε έχουμε ότι
Ποιος είναι άραγε ο βαθύτερος λόγος που κάνει έναν αριθμό, κατασκευασμένο με βάση μια αφηρημένη μαθηματική ιδιότητα, να έχει τόσο σημαντικές εφαρμογές στη φύση, και μάλιστα σε τόσο διαφορετικά συστήματα; Τα όστρακα, οι κυκλώνες και οι γαλαξίες δεν έχουν καμία κοινή ιδιότητα και διέπονται από εντελώς διαφορετικούς φυσικούς νόμους. H ανάπτυξη των οστράκων επηρεάζεται από τον διαθέσιμο χώρο. H δημιουργία των κυκλώνων οφείλεται στη ροή του υγρού αέρα από περιοχές υψηλής πίεσης σε περιοχές χαμηλής. Λόγω της περιστροφής της Γης, τα ρεύματα του αέρα αποκλίνουν από την ευθεία, έτσι ώστε στο βόρειο ημισφαίριο όλοι οι κυκλώνες να περιστρέφονται αντίθετα από τη φορά των δεικτών του ρολογιού ενώ στο νότιο ημισφαίριο αντίστροφα. Τέλος οι σπείρες είναι περιοχές ενός γαλαξία όπου υπάρχει συγκέντρωση αστέρων, σκόνης και αερίων, οι οποίες δημιουργούνται όταν κάποιος άλλος γαλαξίας περάσει σε κοντινή απόσταση. Φαίνεται λοιπόν ότι η Χρυσή Τομή αποτελεί έναν αριθμό με «παγκόσμιες» ιδιότητες, παρόμοιο με τον αριθμό π = 3,14 ο οποίος ισούται με το πηλίκο της περιφέρειας ενός κύκλου διά τη διάμετρό του. Για τον λόγο αυτόν οι μαθηματικοί παριστάνουν τη Χρυσή Τομή με ένα άλλο ελληνικό γράμμα, το φι, οπότε έχουμε ότι
φ = 1,62.
Ο κ. Χάρης Βάρβογλης είναι αναπληρωτής καθηγητής του Τμήματος Φυσικής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης.
Διαβάστε περισσότερα εδώ:
Η έννοια της «Χρυσής Τομής», απασχόλησε και απασχολεί σε παγκόσμιο επίπεδο αρκετούς ερευνητές, κι αυτό γιατί θεωρείται ότι εμφανίζεται στις τέχνες (ζωγραφική, γλυπτική, αρχιτεκτονική, μουσική κ.τ.λ.), στη φύση (όπως για παράδειγμα στη διατομή του DNA), αλλά και σε πολλές άλλες περιπτώσεις. Ακόμα και μια τομή του ανθρώπινου DNA φαίνεται να ενσωματώνεται άψογα σε ένα χρυσό δεκάγωνο. Η χρυσή αναλογία και τα σχήματα που σχετίζονται με αυτή συνεχίζουν να κινούν το ενδιαφέρον των μαθηματικών, αλλά και των απλών ανθρώπων.
Ενδιαφέρουσες ιστοσελίδες για την χρυσή τομή είναι οι :
1.http://www.iranon.gr/PENTELI/PENTELI2addendum.htm
2. http://www.lexilogia.gr/forum/showthread.php?t=5289
3. http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/xrisi.htm
Η τελευταία περιέχει ενδιαφέρουσες φωτογραφίες από ποικίλες
ανθρώπινες δραστηριότητες αλλά και φυσικές εφαρμογές.
1.http://www.iranon.gr/PENTELI/PENTELI2addendum.htm
2. http://www.lexilogia.gr/forum/showthread.php?t=5289
3. http://users.sch.gr/theoj/etwin/fibonacci/xrisi.htm
Η τελευταία περιέχει ενδιαφέρουσες φωτογραφίες από ποικίλες
ανθρώπινες δραστηριότητες αλλά και φυσικές εφαρμογές.
Η χρυσή τομή στη γλυπτική και ζωγραφικήΤο βιβλίο του, όπου μελετούσε τον αριθμό φ, εικονογραφήθηκε από τον γνωστό καλλιτέχνη Leonardo da Vinci. Ο Leonardo για αρκετό καιρό έδειξε ένα διακαές ενδιαφέρον για τα μαθηματικά στην τέχνη και την φύση και επιδόθηκε σε συστηματικές μελέτες. Μελέτησε τις αναλογίες του ανθρωπίνου σώματος και ειδικότερα τις αναλογίες στο ανθρώπινο πρόσωπο.
Eργα Leonardo da Vinci (1451-1519)
Με την σειρά : Mona Lisa , Μελέτη αναλογιών σώματος κατά τον Vitruvious, Άγιος Ιερώνυμος, Μελέτη αναλογιών προσώπου γέρου.
Οι μαθηματικές αναλογίες του αγάλματος “Δορυφόρος” του αρχαίου γλύπτη Πολύκλειτου, αναλογίες οι οποίες χρησιμοποιήθηκαν ως πρότυπο απεικόνισης του ανθρωπίνου σώματος από την κλασική Ελλάδα, το Βιτρούβιο και στη συνέχεια μέχρι την ύστερη Αναγέννηση.
Η χρήση της μαθηματικής αναλογίας της χρυσής τομής από τον διάσημο αρχαίο γλύπτη Φειδία (προς τιμήν του οποίου άλλωστε πολλούς αιώνες αργότερα η Δύση την ονόμασε με το αρχικό του γράμμα Φ) και στη συνέχεια στην Αναγέννηση από τους διασημότερους καλλιτέχνες της όπως ο DaVinci.
Ο επηρεασμός σημαντικών γλυπτών από σύγχρονους νέους κλάδους των Μαθηματικών όπως η
Η χρήση της μαθηματικής αναλογίας της χρυσής τομής από τον διάσημο αρχαίο γλύπτη Φειδία (προς τιμήν του οποίου άλλωστε πολλούς αιώνες αργότερα η Δύση την ονόμασε με το αρχικό του γράμμα Φ) και στη συνέχεια στην Αναγέννηση από τους διασημότερους καλλιτέχνες της όπως ο DaVinci.
Ο επηρεασμός σημαντικών γλυπτών από σύγχρονους νέους κλάδους των Μαθηματικών όπως η
Η χρυσή τομή στην τέχνη της φωτογραφίας.
Ο κανόνας λέει ότι: ab/ac=ac/cb= 1,618. Δηλαδή εάν έχεις ένα τετράγωνο 1×1 το καλύτερο παραλληλόγραμμο που μπορείς να βγάλεις από αυτό και έτσι να έχεις το συναίσθημα της χρυσής τομής θα είναι το 1x (1×1.618) = 1×1.618. Από εκεί και πέρα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας με τον ίδιο αριθμό, θα έχεις το καλύτερο feeling than ever στην εικόνα. Αλλιώς, παρομοίως δηλαδή παίζεις με τα 2/3 ή το 1/3. Φυσικά κάποια τετράγωνα από όλες τις συνθέσεις πάντα μπορούν να είναι άδεια και αυτό είναι που μας δίνει τον απαραίτητο αέρα στη σύνθεση. Π.χ. στην κάτω εικόνα η πολυθρόνα είναι το πρώτο βασικό σχήμα, το φωτιστικό έπρεπε να μην υπερβαίνει σε ύψος το τετράγωνο επί 1,618 αλλά και σε πλάτος βλέπεις ότι γεμίζει τα 2/3 της εικόνας σου και αφήνει 1/3 κενό.
Οι ίδιες συνθήκες αφορούν και στη λήψη φωτογραφίας. Από κάτω έχουμε μια φωτογραφία που βλέπεις ότι στην έχω χωρίσει σε έναν κάναβο με 1/3 και 2/3. Η κουρτίνα γεμίζει το 1/3 της εικόνας σε πλάτος. Στο ύψος έχουμε διαιρέσει δια τρία και έχουμε ένα αντικείμενο σε κάθε κουτάκι. Όλα τα κουτάκια φυσικά ακολουθώντας τον κανόνα μπορούν να υποδιαιρεθούν αναλόγως και έτσι βρίσκουμε
τη σωστή θέση του σκαμπό για μια άρτια οπτικά εικόνα.
τη σωστή θέση του σκαμπό για μια άρτια οπτικά εικόνα.
Η χρυσή τομή στις σονάτες του Μότσαρτ.
Στο περιοδικό Mathematics Magazine του Οκτωβρίου 1995, ο Putz περιέγραψε την έρευνά του για το αν η χρυσή αναλογία εμφανίζεται στις σονάτες για πιάνο του Μότσαρτ.
Σύμφωνα με τον Putz: “Στον καιρό του Μότσαρτ, η μουσική φόρμα της σονάτας εξελίχθηκε σε δύο μέρη: στην Έκθεση που το μουσικό θέμα εισάγεται, και στην Ανάπτυξη και Επανέκθεση που το θέμα αναπτύσσεται και επανεπισκέπτεται. Είναι αυτός ο χωρισμός σε δύο ευδιάκριτα τμήματα… [ που ] δίνει την αιτία για να αναρωτηθεί κανείς πώς ο Μότσαρτ διένειμε αυτές τις εργασίες.” Δηλαδή ο Μότσαρτ διαίρεσε τις σονάτες του σύμφωνα με τη χρυσή αναλογία, με την Έκθεση ως πιο το σύντομο τμήμα (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση ως το πιο μεγάλο (1-x);
Ο Putz αντιστοίχισε τα δύο τμήματα – την Έκθεση (x) και την Ανάπτυξη και Επανέκθεση (1-x) – από τον αριθμό των μέτρων στο κάθε ένα. Στο πρώτο μέρος της σονάτας αριθ.1 σε Ντο Ματζόρε, παραδείγματος χάριν, η Έκθεση αποτελείται από 38 μέτρα και η Ανάπτυξη και Επανέκθεση από 62 μέτρα. Η διαίρεση του 38:62 δίνει πηλίκο περίπου 0,613, προσεγγίζοντας το χρυσό αριθμό.
ΑΦΗΡΗΜΕΝΗ ΤΕΧΝΗ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ
ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Η ΜΟΥΣΙΚΗ
«Δεν θα υπήρχε (μουσική) αρμονία αν δεν υπήρχαν αριθμοί. Δεν θα υπήρχε αρμονία αν δεν υπήρχε ο άνθρωπος για να την ακούσει και να την κρίνει ως τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί εργαλεία. Δεν υπάρχει αρμονία από μόνη της» λέει στα «NEA» ο Ρούντολφ Τάσνερ, καθηγητής στο Τεχνολογικό Πανεπιστήμιο της Βιέννης.
Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου, ενός χαρακτήρα, όπως είναι το ύψος, ή ένταση, ή πυκνότητα, όπως είναι ο βαθμός αταξίας. Στην ιστορία, πολλές φορές η μουσική σκέψη ήταν πρωτοπορία απέναντι στη μαθηματική σκέψη. Οι Πυθαγόρειοι, για παράδειγμα, συσχέτιζαν το ύψος με το μήκος των χορδών. Για να βρούνε, ας πούμε, το διάστημα της ογδόης, έπρεπε να διαιρέσουν τη χορδή στα τέσσερα. Είναι διαίρεση με το δύο – πρόκειται για μια φθίνουσα γεωμετρική πρόοδο
Ι. Ξενάκης , Έλληνας μουσικός και μαθηματικός.
Η ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΟΥΣ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥΣ Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.
Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται.που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου δηλαδή με βραχίονα, χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και “Πυθαγόρειος κανών” γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο,. για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο.
Περισσότερα: εδώ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΜΟΥΣΙΚΗ ΣΤΗ ΔΥΤΙΚΗ ΕΥΡΩΠΗ
Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα. Το μουσικό μέτρο, το οποίο είναι απαραίτητο για την εκτέλεση ενός μουσικού θέματος, δηλώνεται μέσω ενός κλάσματος, ενός αριθμού δηλαδή ο οποίος καθοδηγεί το ρυθμό.
Η χρονική αξία τoυ πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.
Η αποδέσμευση της μελέτης των Μουσικών φαινομένων από την Πυθαγόρεια παράδοση γίνεται αργά, σταδιακά και πραγματοποιείται μέσα σε ένα συνεχώς μεταβαλλόμενο, ιστορικό, κοινωνικό και πολιτισμικό πλαίσιο.Η ανάπτυξη της ναυσιπλοΐας τον 16ου αιώνα, μετά την ανακάλυψη του Νέου Κόσμου, δημιουργεί νέες απαιτήσεις για μεγαλύτερη ακρίβεια στις μετρήσεις και ιδιαίτερα στην κατασκευή αξιόπιστων ωρολογίων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων.
Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση. Η στροφή αυτή διαρκεί περίπου έναν αιώνα, από το 1640 όταν ο W. Oughtred επιχειρεί μια συστηματική χρήση των συμβόλων sin, cos κλπ., μέχρι το 1759 όταν ο G. Kustner σε έναν οποιονδήποτε αριθμό x αντιστοιχεί την έκφραση sinx, cosx κ.λπ. και θεωρεί πλέον τις συναρτήσεις f(x)= sinx, g(x)=cosx, κ.ο.κ. Η μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων είναι πλέον εφικτή και σηματοδοτεί τον μετασχηματισμό των απόψεων για τη μουσική και τη φύση της αρμονίας. Η μελέτη επικεντρώνεται στο φαινόμενο, το οποίο είχε μελετήσει και ο Πυθαγόρας, στην προσπάθειά του να κατανοήσει την ουσία της αρμονίας , το φαινόμενο της παλλόμενης χορδής.
Με τη βοήθεια της ανάλυσης κατά Fourier είναι πλέον δυνατόν να λυθεί η διαφορική εξίσωση της παλλόμενης χορδής.Ας υποθέσουμε τώρα ότι, μέσω ενός μουσικού οργάνου ή της ανθρώπινης φωνής παράγουμε μια νότα. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε δημιουργήσει στον αέρα μια παλμική κίνηση, ένα περιοδικό φαινόμενο και επομένως το φαινόμενο αυτό (η νότα) περιγράφεται από μια εξίσωση από ένα άπειρο άθροισμα προσθετέων· δηλαδή καθένας εκ των οποίων περιέχει ημίτονα και συνημίτονα της μορφής cosω.t, sinω.t, cos2ω.t, sin2ω.t και γενικά cos(nωt) και sin(nωt). Αυτό σημαίνει ότι ένα μουσικό όργανο, όταν “παίζει” μία νότα, παράγει ήχους διαφόρων συχνοτήτων και για n=1 έχουμε τη βασική συχνότητα της νότας ενώ οι συχνότητες που προκύπτουν για n= 2, 3… είναι οι αρμονικές συνιστώσες της εν λόγω νότας.
Η ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ : ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΡΕΥΝΑ
Υπάρχει τεράστια συσχέτιση ανάμεσα στα μαθηματικά και τη μουσική, από το “φαινόμενο Mozart” (σύμφωνα με το οποίο η μουσική του Mozart βελτιώνει τις μαθηματικές ικανότητες των παιδιών) έως τη μουσική των Σφαιρών (μια αρχαία προσέγγιση που υποστηρίζει ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη).
Σήμερα οι επιστήμονες έχουν προχωρήσει στη δημιουργία ενός νέου μαθηματικού συστήματος για την κατανόηση της μουσικής. Ο Clifton Callender από το Πανεπιστήμιο της Φλόριντα, ο Ian Quinn από το Yale και ο Dmitri Tymoczko από το Πανεπιστήμιο του Princeton περιγράφουν την θεωρία τους για την “γεωμετρία της μουσικής” στο επιστημονικό περιοδικό Science.
Η επιστημονική ομάδα ηγήθηκε της σχεδίασης μιας γεωμετρικής τεχνικής για την απεικόνιση της μουσικής σε ένα καθορισμένο διάστημα. Για την μουσική, η οποία περιέχει συγχορδίες που αποτελούνται από δυο νότες, όλοι οι μουσικοί συνδυασμοί παίρνουν το σχήμα μιας ταινίας Μέμπιους, μιας λωρίδας χαρτί η οποία έχει περιστραφεί κατά το ένα άκρο της 180 μοίρες και συνδέεται με το άλλο. Αυτό που προκύπτει είναι ένας ατέρμονος βρόχος σε σχήμα «8», ο οποίος, παραδόξως, έχει μόνο μία πλευρά. Όποια διαδρομή κι αν ακολουθήσει κανείς κατά μήκος της λωρίδας, τελικά καταλήγει πάντα στο σημείο που ξεκίνησε.
Η επιστημονική ομάδα ανακάλυψε ότι το σχήμα των πιθανοτήτων που χρησιμοποιούσαν συγχορδίες με τρείς νότες μοιάζει με ένα χωνί παγωτού σε τρείς διαστάσεις, όπου τα είδη των συγχορδιών, μέγιστες και οι μικρότερες συγχορδίες, αποτελούν ξεχωριστά σημεία του κώνου.
«Αυτές οι γεωμετρικές διαστάσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν στην ανεύρεση τρόπων για την οπτικοποίηση των μουσικών κομματιών,» σχολιάζει ο Tymoczko. «Οι απεικονίσεις αυτές φέρουν αρκετές πληροφορίες για την ύπαρξη αυτών των συγχορδιών.»
Περισσότερα: εδώ.
Ο Έλληνας μουσικός και μαθηματικός Ι. Ξενάκης
Ιάννης Ξενάκης (1922-2001) : Η μουσική που αποτελεί το αποτέλεσμα μετασχηματισμών μαθηματικών σχέσεων και συναφών μεθόδων και δεν στηρίζεται σε ερμηνευτές που διαβάζουν την “κλασική παρτιτούρα” ονομάζεται συνήθως Στοχαστική Μουσική. Οι μαθηματικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται έχουν συνήθως σχέση με θεωρίες πιθανοτήτων καθώς και στατιστική. Το τελικό αποτέλεσμα είναι κομμάτια με αρκετά ζωντανό περιεχόμενο, γραμμένα με μεταμοντέρνα τεχνοτροπία, τα οποία μπορούν να αλλάξουν την ιδέα μας για την κατεύθυνση της μουσικής στο μέλλον.
Βασική ιδέα της μουσικής του είναι ο μετασχηματισμός των διαφόρων μαθηματικών σχέσεων που εκφράζουν το σύμπαν σε μουσικούς ήχους, χρησιμοποιώντας σειρά εργαλείων, όπως η Θεωρία των Συνόλων, η Θεωρία των Πιθανοτήτων, η Θερμοδυναμική, η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι. Προσπάθησε να εφαρμόσει στη μουσική τους φυσικούς νόμους που διέπουν διάφορα φαινόμενα, όπως το θρόισμα των φύλλων ενός δέντρου, την οχλοβοή μιας διαδήλωσης, το τερέτισμα των τζιτζικιών κ.ά., δημιουργώντας μια μουσική «ηχητικών μαζών», «συμπάντων» ή «γαλαξιών». Το πρώτο έργο που σηματοδοτεί την πρωτοποριακή αυτή κατεύθυνση, που θα ονομάσει αργότερα «στοχαστική μουσική», είναι οι Μεταστάσεις (1954).
Βασική ιδέα της μουσικής του είναι ο μετασχηματισμός των διαφόρων μαθηματικών σχέσεων που εκφράζουν το σύμπαν σε μουσικούς ήχους, χρησιμοποιώντας σειρά εργαλείων, όπως η Θεωρία των Συνόλων, η Θεωρία των Πιθανοτήτων, η Θερμοδυναμική, η Χρυσή Τομή και η ακολουθία Φιμπονάτσι. Προσπάθησε να εφαρμόσει στη μουσική τους φυσικούς νόμους που διέπουν διάφορα φαινόμενα, όπως το θρόισμα των φύλλων ενός δέντρου, την οχλοβοή μιας διαδήλωσης, το τερέτισμα των τζιτζικιών κ.ά., δημιουργώντας μια μουσική «ηχητικών μαζών», «συμπάντων» ή «γαλαξιών». Το πρώτο έργο που σηματοδοτεί την πρωτοποριακή αυτή κατεύθυνση, που θα ονομάσει αργότερα «στοχαστική μουσική», είναι οι Μεταστάσεις (1954).
Aφετηρία για τις δημιουργίες του Ξενάκη είναι συνήθως αφηρημένες έννοιες, συχνά μαθηματικά μοντέλα, που περιγράφουν τους νόμους λειτουργίας των φυσικών συστημάτων:
- Θεωρία των πιθανοτήτων.
- Tυχαία (αλεατορική) κατανομή των σημείων σε ένα επιπεδο (Πιθοπρακτά)
- Nόμος των Maxwell- Boltsman από τις κινητικές θεωρίες των αερίων (Διαμορφώσεις)
- Ελάχιστοι περιορισμοί (Aχορρίψεις)
- Kατανομή κατά Gauss (ST/10, Aτρείς)
- Mαρκοβιανές αλυσσίδες (Aναλογικά)
- Tυχαίες διαδρομές (random walks) – κίνηση Mπράουν (Nοόμενα, Xοαί)
- Θεωρία των παιγνίων (Duel, Στρατηγία)
- Θεωρία ομάδων (Nόμος Άλφα, Nόμος Γάμμα)
- Θεωρία συνόλων και άλγεβρα του Boole (Έρμα, Eόντα)
- Φόρμες οργανικής εξέλιξης – δενδροειδείς διακλαδώσεις (Eυρυάλη, Eριχθών)
- Θεωρία των αριθμών (Iχώρ, Πλειάδες). Tο μοντέλο εφαρμόζεται στους ήχους (μουσικές συνθέσεις), σε οπτικά στοιχεία (αρχιτεκτονικά σχέδια) καθώς και σε εφφέ φωτισμού (ακτίνες λέιζερ, Πολύτοπα).
Σε μια συνέντευξη ο Ξενάκης είπε :
” Η μουσική γλώσσα έφτασε εν μέρει, και μπορεί ακόμη πιο πολύ να προχωρήσει, σε τέτοια αφαίρεση και τέτοια γενίκευση, ώστε να μπορεί να αποσπασθεί από τις τοπικές διαλέκτους και χροιές. Θα ονομάσω αυτό το φαινόμενο «αλγεβροποίηση» της μουσικής με το σύγχρονο περιεχόμενο της λέξεως «Άλγεβρα», το οποίο ταυτίζεται με τις θεμελιώδεις αρχές και νόμους της ανθρώπινης σκέψεως και λογικής”.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΟΣ
“ΦΙΛΜΙΚΟΣ ΧΩΡΟΧΡΟΝΟΣ”
Με βάση αυτό οι Καλές Τέχνες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες: Στις τέχνες του Χώρου (Ζωγραφική, Γλυπτική, Αρχιτεκτονική) και στις τέχνες του Χρόνου (Μουσική, Ορχηστική – Χορός, Ποίηση). Οι χαρακτηριστικότερες στις κατηγορίες τους είναι οι πρώτες αναφερόμενες, ζωγραφική του Χώρου, μουσική του Χρόνου.Ένα ζωγραφικό έργο δεν είναι παρά μία στατική (έλλειψη κίνησης, άρα αμετάβλητος χρόνος) απεικόνιση ενός θέματος.Απεναντίας ένα μουσικό κομμάτι απαιτεί οπωσδήποτε τον χρόνο για να υπάρξει, αφού αναγκαστικά εξελίσσεται μέσα σ’αυτόν
Ο κινηματογράφος τώρα, θεωρείται ότι ανήκει εξ’ίσου και στις δύο κατηγορίες. Έχει δηλαδή στην κατοχή του και τον Χώρο και τον Χρόνο και μπορεί να αναπτύσσεται ελεύθερα μέσα και στα δύο συγχρόνως. Αυτό είναι ένα από τα σημεία της αντικειμενικής του υπεροχής απέναντι στις άλλες τέχνες.
Ας δούμε λίγο τις έννοιες του Χώρου κα του Χρόνου από μαθηματική άποψη. Λέμε για παράδειγμα ότι ένα γεγονός διαδραματίστηκε σε μια πλατεία για 5 ώρες. Τόσο ο χώρος όσο και ο χρόνος στον οποίο διαδραματίστηκε το συγκεκριμένο γεγονός, έχουν καθοριστεί απόλυτα με μαθηματική ακρίβεια. Στα μαθηματικά οι έννοιες του Χώρου και του Χρόνου έχουν έναν σαφή – σε γενικές γραμμές – καθορισμό, ο οποίος είναι δυνατόν να προσδιοριστεί: μετρούμε τον χρόνο με το ρολόι και το χώρο με το μέτρο.
Συχνά όμως τα αντικειμενικά μεγέθη υποχωρούν μπροστά στην υποκειμενική αντίλιψη, η οποία εξαρτάται συχνά από την ψυχολογική διάθεση κάθε ατόμου. Πρόκειται για τον βιωμένο χρόνο και χώρο, που δεν προσδιορίζεται μετρικά. Η ψυχολογική διάθεση της στιγμής, πολύ συχνά κάνει να δίνουμε μία καινούρια σημασία στην έννοια του Χρόνου. Καταστάσεις και γεγονότα που μας ευχαριστούν «περνούν πιο γρήγορα από το κανονικό», ενώ αντιθέτως, καταστάσεις και γεγονότα που μας δυσαρεστούν, νοιώθουμε ότι διαρκούν πολύ. Λέμε π.χ. «τι γρήγορα που πέρασε ο χρόνος» ή «τι αργά που περνάει ο καιρός». Είναι εκφράσεις απόλυτα σωστές, που βγαίνουν από μια εμπειρία βεβαιωμένη. Κάπως έτσι εννοεί ο Μπερξόν την «βιωμένη διάρκεια».
Ένα γεγονός που διήκεσε 5 ώρες, σε κάποιους μπορεί να δημιούργησε την εντύπωση ότι πέρασε γρήγορα, διήρκεσε δηλαδή λιγότερο από 5 ώρες, σε κάποιους άλλους ότι πέρασε αργά. Τα μαθηματικά δηλαδή μεγέθη του Χώρου και του Χρόνου, καταργούνται τελείως, εξ’αιτίας ενός ψυχολογικού φαινομένου και οι δύο έννοιες συστέλλονται, ή διαστέλλονται ανάλογα, αποκτώντας έτσι μία καινούρια σημασία που διαφέρει από την μαθηματική.
Ένα γεγονός που διήκεσε 5 ώρες, σε κάποιους μπορεί να δημιούργησε την εντύπωση ότι πέρασε γρήγορα, διήρκεσε δηλαδή λιγότερο από 5 ώρες, σε κάποιους άλλους ότι πέρασε αργά. Τα μαθηματικά δηλαδή μεγέθη του Χώρου και του Χρόνου, καταργούνται τελείως, εξ’αιτίας ενός ψυχολογικού φαινομένου και οι δύο έννοιες συστέλλονται, ή διαστέλλονται ανάλογα, αποκτώντας έτσι μία καινούρια σημασία που διαφέρει από την μαθηματική.
” ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΤΑΙΝΙΕΣ…”
Ξέρω ότι βλέπετε ταινίες, κωμικές ή περιπετειώδεις ενίοτε και κοινωνικές. Αστυνομικές , κατασκοπευτικές γεμάτες δράση , αγωνία και σανσπένς. Πράγματι ένα ευχάριστο διάλειμμα είναι πάντα χρήσιμο και έτσι, αν επιλέξετε να το αφιερώσετε σε μία ταινία αλλά παράλληλα θέλετε να μείνετε στο αντικείμενό σας, τα μαθηματικά ορίστε μερικές προτάσεις:
Cube (1997)
Cube 2: Hypercube (2002)
Cube Zero (2004)
Little Man Tate (1991)
The Bank (2001)
A Beautiful Mind (2001)
Infinity (1996)
A Hill on the Dark Side of the Moon (1983)
Morte di un Matematico Napoletano (Italian, 1992)
N Is a Number (1993)
Evariste Galois (1965)
Non ho tempo (1973: No More Time)
Good Will Hunting (1997)
Pi (1998)
A Brief History of Time (1992)
Όλες του Paul Verhoeven
Breaking the Code
21 (2008)
Proof (2005)
Agora (2009)
Στην ιστοσελίδα :
σχολιάζονται οι παρακάτω κινηματογραφικές ταινίες που σχετίζονται με τη ζωή επωνύμων μαθηματικών ή μαθηματικών μυαλών της εποχής μας …
1.”Π”
2. “Agora”
3. “Ο Κύβος 1-2-3”
4. “Ενα υπέροχο μυαλό”
5. “Proof”‘
6. “O ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ”
7. “21”
8. ” Το δωμάτιο του Fermat”
9. “H Επαφή”
2. “Agora”
3. “Ο Κύβος 1-2-3”
4. “Ενα υπέροχο μυαλό”
5. “Proof”‘
6. “O ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ”
7. “21”
8. ” Το δωμάτιο του Fermat”
9. “H Επαφή”
10. “Κωδικός Αίνιγμα”
ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΙΝΙΕΣ
“Ως το Άπειρο και Ακόμα Παραπέρα”
Κανείς δε θα περίμενε ότι θα γινόταν ποτέ μια υπέροχη κινηματογραφική ταινία που μιλάει για τους αριθμούς και το άπειρο. Κι όμως, οι δημιουργοί αυτής της ταινίας το έχουν καταφέρει. Μετά από αυτό το φιλμ, η ζωή σας δεν θα είναι ποτέ ξανά η ίδια. Η μαγεία των αριθμών στην αίθουσα. (Βραβείο Τέχνης)
Χώρα Παραγωγής: Ηνωμένο Βασίλειο
Κανείς δε θα περίμενε ότι θα γινόταν ποτέ μια υπέροχη κινηματογραφική ταινία που μιλάει για τους αριθμούς και το άπειρο. Κι όμως, οι δημιουργοί αυτής της ταινίας το έχουν καταφέρει. Μετά από αυτό το φιλμ, η ζωή σας δεν θα είναι ποτέ ξανά η ίδια. Η μαγεία των αριθμών στην αίθουσα. (Βραβείο Τέχνης)
Χώρα Παραγωγής: Ηνωμένο Βασίλειο
“Η Κρυφή Ζωή του Χάους” Όλοι έχουμε ακούσει ότι αν μια πεταλούδα χτυπήσει τα φτερά της στη Βραζιλία, μπορεί να προκαλέσει ανεμοστρόβιλο στο Τέξας. Κινηματογράφος για το φαινόμενο της πεταλούδας που απαντά στο «πώς βρεθήκαμε εδώ;» Το βραβείο καλύτερης ταινίας βάζει σε τάξη στη θεωρία του Χάους (Βραβείο Καλύτερης Ταινίας)
Χώρα Παραγωγής: Ηνωμένο Βασίλειο
Χώρα Παραγωγής: Ηνωμένο Βασίλειο
“Ξέρετε τι Ώρα είναι;”Εσείς, ξέρετε τι ώρα είναι; Κοιτώντας ένα ρολόι έχουμε την εντύπωση ότι γνωρίζουμε. Κι όμως, δεν υπάρχει κανένα τεράστιο ρολόι στον ουρανό που να χτυπάει με τον ίδιο ρυθμό για όλους. Μέσα από ένα ταξίδι στην αρχή του χρόνου, ανακαλύπτουμε ότι, ίσως, η εμπειρία του χρόνου είναι μία ψευδής ιδέα…για όλους μας (Βραβείο Κοινού)
Χώρα Παραγωγής: Ηνωμένο Βασίλειο
